微积分学示例

$r = 1 - \sin (θ)$ , $r = 2 + \sin (θ)$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$1 - \sin (θ) = 2 + \sin (θ)$

解题步骤 1.2

求解 $θ$ 的 $1 - \sin (θ) = 2 + \sin (θ)$ 。

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解题步骤 1.2.1

将所有包含 $\sin (θ)$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 1.2.1.1

从等式两边同时减去 $\sin (θ)$ 。

$1 - \sin (θ) - \sin (θ) = 2$

解题步骤 1.2.1.2

从 $- \sin (θ)$ 中减去 $\sin (θ)$ 。

$1 - 2 \sin (θ) = 2$

解题步骤 1.2.2

将所有不包含 $\sin (θ)$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.2.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \sin (θ) = 2 - 1$

解题步骤 1.2.2.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$- 2 \sin (θ) = 1$

解题步骤 1.2.3

将 $- 2 \sin (θ) = 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $- 2 \sin (θ) = 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $\sin (θ)$ 除以 $1$ 。

$\sin (θ) = \frac{1}{- 2}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.4

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

解题步骤 1.2.5

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$θ = - \frac{π}{6}$

解题步骤 1.2.6

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 1.2.7

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 1.2.7.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 1.2.7.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$θ = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 1.2.8

求 $\sin (θ)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.8.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.2.8.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.2.9

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 1.2.9.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{6}$ 以求正角。

$- \frac{π}{6} + 2 π + r = 2 + \sin (θ)$

解题步骤 1.2.9.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

解题步骤 1.2.9.3

合并分数。

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解题步骤 1.2.9.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

解题步骤 1.2.9.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

解题步骤 1.2.9.4

化简分子。

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解题步骤 1.2.9.4.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 π - π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

解题步骤 1.2.9.4.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

解题步骤 1.2.9.5

列出新角。

$θ = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 1.2.10

$\sin (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

当 $θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ 时计算 $r$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ 替换 $θ$ 。

$r = 2 + \sin (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ 代入 $r = 2 + \sin (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$ 以替换 $θ$ ，然后求解 $r$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

去掉圆括号。

$r = 2 + \sin (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

解题步骤 1.3.2.2

将 $\frac{7 π}{6}$ 和 $2 π n$ 重新排序。

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6})$

解题步骤 1.4

当 $θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 时计算 $r$ 。

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解题步骤 1.4.1

代入 $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ 替换 $θ$ 。

$r = 2 + \sin (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

解题步骤 1.4.2

将 $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ 代入 $r = 2 + \sin (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$ 以替换 $θ$ ，然后求解 $r$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

去掉圆括号。

$r = 2 + \sin (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

解题步骤 1.4.2.2

将 $\frac{11 π}{6}$ 和 $2 π n$ 重新排序。

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6})$

解题步骤 1.5

方程组的解是使方程组成立的所有值。

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6}), θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6}), θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$

解题步骤 1.6

列出所有解。

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6}), θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n$

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6}), θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6}), θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n$

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6}), θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$

解题步骤 2

给定曲线之间的面积无界。

无界区域

解题步骤 3

微积分学 示例

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