微积分学示例

$r = 13 \cos (θ)$ , $r = 6 + \cos (θ)$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$13 \cos (θ) = 6 + \cos (θ)$

解题步骤 1.2

求解 $θ$ 的 $13 \cos (θ) = 6 + \cos (θ)$ 。

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解题步骤 1.2.1

将所有包含 $\cos (θ)$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 1.2.1.1

从等式两边同时减去 $\cos (θ)$ 。

$13 \cos (θ) - \cos (θ) = 6$

解题步骤 1.2.1.2

从 $13 \cos (θ)$ 中减去 $\cos (θ)$ 。

$12 \cos (θ) = 6$

解题步骤 1.2.2

将 $12 \cos (θ) = 6$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $12 \cos (θ) = 6$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 \cos (θ)}{12} = \frac{6}{12}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 \cos (θ)}{12} = \frac{6}{12}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

用 $\cos (θ)$ 除以 $1$ 。

$\cos (θ) = \frac{6}{12}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

约去 $6$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.3.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\cos (θ) = \frac{6 (1)}{12}$

解题步骤 1.2.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.2.3.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$\cos (θ) = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.2.3.1.2.2

约去公因数。

$\cos (θ) = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.2.3.1.2.3

重写表达式。

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 1.2.4

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$θ = \frac{π}{3}$

解题步骤 1.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 1.2.6

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 1.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 1.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 1.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 1.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 1.2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$θ = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 1.2.7

求 $\cos (θ)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.2.8

$\cos (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

当 $θ = \frac{π}{3} + 2 π n$ 时计算 $r$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $\frac{π}{3} + 2 π n$ 替换 $θ$ 。

$r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{π}{3} + 2 π n$ 代入 $r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$ 以替换 $θ$ ，然后求解 $r$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

去掉圆括号。

$r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

解题步骤 1.3.2.2

将 $\frac{π}{3}$ 和 $2 π n$ 重新排序。

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3})$

解题步骤 1.4

当 $θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 时计算 $r$ 。

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解题步骤 1.4.1

代入 $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ 替换 $θ$ 。

$r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

解题步骤 1.4.2

将 $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ 代入 $r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$ 以替换 $θ$ ，然后求解 $r$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

去掉圆括号。

$r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

解题步骤 1.4.2.2

将 $\frac{5 π}{3}$ 和 $2 π n$ 重新排序。

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3})$

解题步骤 1.5

方程组的解是使方程组成立的所有值。

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

解题步骤 1.6

列出所有解。

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

解题步骤 2

给定曲线之间的面积无界。

无界区域

解题步骤 3

微积分学 示例

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