微积分学示例

$y = x^{\frac{2}{3}}$ , $(8, 4)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 8$ 和 $y = 4$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

解题步骤 1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 1.5

化简分子。

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解题步骤 1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

解题步骤 1.5.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

解题步骤 1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 1.7

化简。

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解题步骤 1.7.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.7.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.8

计算在 $x = 8$ 处的导数。

$\frac{2}{3 {(8)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.9

化简。

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解题步骤 1.9.1

化简分母。

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解题步骤 1.9.1.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{2}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.9.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}}$

解题步骤 1.9.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.1.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}}$

解题步骤 1.9.1.3.2

重写表达式。

$\frac{2}{3 \cdot 2^{1}}$

解题步骤 1.9.1.4

计算指数。

$\frac{2}{3 \cdot 2}$

解题步骤 1.9.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.9.2.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{6}$

解题步骤 1.9.2.2

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{6}$

解题步骤 1.9.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.9.2.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.9.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.9.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{1}{3}$ 和给定点 $(8, 4)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (4) = \frac{1}{3} \cdot (x - (8))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 4 = \frac{1}{3} \cdot (x - 8)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{1}{3} \cdot (x - 8)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 8)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 4 = \frac{1}{3} \cdot (x - 8)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 4 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 8$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x$ 。

$y - 4 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 8$

解题步骤 2.3.1.5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 8$ 。

$y - 4 = \frac{x}{3} + \frac{- 8}{3}$

解题步骤 2.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$y - 4 = \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3} + 4$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 8 + 4 \cdot 3}{3}$

解题步骤 2.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 8 + 12}{3}$

解题步骤 2.3.2.5.2

将 $- 8$ 和 $12$ 相加。

$y = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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