微积分学示例

$y = \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{4} x)$ , $(4, \frac{π}{12})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 4$ 和 $y = \frac{π}{12}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} \cdot \arctan (\frac{1}{4} x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{4} x)]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{4} x)]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = \frac{1}{4} x$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{4} x$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x])$

解题步骤 1.2.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x])$

解题步骤 1.2.3

使用 $\frac{1}{4} x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{1}{4} x)}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x])$

解题步骤 1.3.2

合并分数。

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解题步骤 1.3.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])$

解题步骤 1.3.2.2

将 $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{4})}^{2}) \cdot 3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

解题步骤 1.3.2.3

将 $3$ 移到 $1 + {(\frac{x}{4})}^{2}$ 的左侧。

$\frac{1}{3 \cdot (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

解题步骤 1.3.3

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.4

合并分数。

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解题步骤 1.3.4.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})}$ 。

$\frac{1}{4 (3 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2}))} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.4.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{12 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{12 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} \cdot 1$

解题步骤 1.3.6

将 $\frac{1}{12 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{12 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

对 $\frac{x}{4}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{12 (1 + \frac{x^{2}}{4^{2}})}$

解题步骤 1.4.2

运用分配律。

$\frac{1}{12 \cdot 1 + 12 \frac{x^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 1.4.3

合并项。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{12 + 12 \frac{x^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 1.4.3.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{12 + 12 \frac{x^{2}}{16}}$

解题步骤 1.4.3.3

组合 $12$ 和 $\frac{x^{2}}{16}$ 。

$\frac{1}{12 + \frac{12 x^{2}}{16}}$

解题步骤 1.4.3.4

约去 $12$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.4.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{12 + \frac{4 (3 x^{2})}{16}}$

解题步骤 1.4.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.3.4.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{12 + \frac{4 (3 x^{2})}{4 (4)}}$

解题步骤 1.4.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{12 + \frac{4 (3 x^{2})}{4 \cdot 4}}$

解题步骤 1.4.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{12 + \frac{3 x^{2}}{4}}$

解题步骤 1.4.4

重新排序项。

$\frac{1}{\frac{3 x^{2}}{4} + 12}$

解题步骤 1.4.5

化简分母。

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解题步骤 1.4.5.1

从 $\frac{3 x^{2}}{4} + 12$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.4.5.1.1

从 $\frac{3 x^{2}}{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3 \frac{x^{2}}{4} + 12}$

解题步骤 1.4.5.1.2

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3 \frac{x^{2}}{4} + 3 \cdot 4}$

解题步骤 1.4.5.1.3

从 $3 \frac{x^{2}}{4} + 3 \cdot 4$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{4} + 4)}$

解题步骤 1.4.5.2

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4})}$

解题步骤 1.4.5.3

组合 $4$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{3 (\frac{x^{2}}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4})}$

解题步骤 1.4.5.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3 \frac{x^{2} + 4 \cdot 4}{4}}$

解题步骤 1.4.5.5

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{3 \frac{x^{2} + 16}{4}}$

解题步骤 1.4.6

组合 $3$ 和 $\frac{x^{2} + 16}{4}$ 。

$\frac{1}{\frac{3 (x^{2} + 16)}{4}}$

解题步骤 1.4.7

将分子乘以分母的倒数。

$1 \frac{4}{3 (x^{2} + 16)}$

解题步骤 1.4.8

将 $\frac{4}{3 (x^{2} + 16)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3 (x^{2} + 16)}$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 4$ 处的导数。

$\frac{4}{3 ({(4)}^{2} + 16)}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

化简分母。

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解题步骤 1.6.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4}{3 (16 + 16)}$

解题步骤 1.6.1.2

将 $16$ 和 $16$ 相加。

$\frac{4}{3 \cdot 32}$

解题步骤 1.6.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.6.2.1

将 $3$ 乘以 $32$ 。

$\frac{4}{96}$

解题步骤 1.6.2.2

约去 $4$ 和 $96$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (1)}{96}$

解题步骤 1.6.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.6.2.2.2.1

从 $96$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 24}$

解题步骤 1.6.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 24}$

解题步骤 1.6.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{24}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{1}{24}$ 和给定点 $(4, \frac{π}{12})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (\frac{π}{12}) = \frac{1}{24} \cdot (x - (4))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{24} \cdot (x - 4)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{1}{24} \cdot (x - 4)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - \frac{π}{12} = 0 + 0 + \frac{1}{24} \cdot (x - 4)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{24} \cdot (x - 4)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - \frac{π}{12} = \frac{1}{24} x + \frac{1}{24} \cdot - 4$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{1}{24}$ 和 $x$ 。

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{24} + \frac{1}{24} \cdot - 4$

解题步骤 2.3.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.5.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{24} + \frac{1}{4 (6)} \cdot - 4$

解题步骤 2.3.1.5.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{24} + \frac{1}{4 \cdot 6} \cdot (4 \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.1.5.3

约去公因数。

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{24} + \frac{1}{4 \cdot 6} \cdot (4 \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.1.5.4

重写表达式。

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{24} + \frac{1}{6} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.6

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $- 1$ 。

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{24} + \frac{- 1}{6}$

解题步骤 2.3.1.7

将负号移到分数的前面。

$y - \frac{π}{12} = \frac{x}{24} - \frac{1}{6}$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $\frac{π}{12}$ 。

$y = \frac{x}{24} - \frac{1}{6} + \frac{π}{12}$

解题步骤 2.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 2.3.3.1

要将 $- \frac{1}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{x}{24} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{12}$

解题步骤 2.3.3.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{x}{24} - \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{12}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x}{24} - \frac{2}{12} + \frac{π}{12}$

解题步骤 2.3.3.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x}{24} + \frac{- 2 + π}{12}$

解题步骤 2.3.3.4

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$y = \frac{x}{24} + \frac{- 1 (2) + π}{12}$

解题步骤 2.3.3.5

从 $π$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{x}{24} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{12}$

解题步骤 2.3.3.6

从 $- 1 (2) - 1 (- π)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{x}{24} + \frac{- 1 (2 - π)}{12}$

解题步骤 2.3.3.7

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{x}{24} - \frac{2 - π}{12}$

解题步骤 2.3.3.8

重新排序项。

$y = \frac{1}{24} x - \frac{2 - π}{12}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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