微积分学示例

$f (x) = \tan (x)$ , $a = π$

解题步骤 1

思考一下可用于求在 $a$ 处线性化的函数。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

解题步骤 2

将 $a = π$ 的值代入线性函数中。

$L (x) = f (π) + f' (π) (x - π)$

解题步骤 3

计算 $f (π)$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $π$ 替换变量 $x$ 。

$f (π) = \tan (π)$

解题步骤 3.2

化简 $\tan (π)$ 。

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解题步骤 3.2.1

去掉圆括号。

$\tan (π)$

解题步骤 3.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$- \tan (0)$

解题步骤 3.2.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 0$

解题步骤 3.2.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0$

$0$

$0$

解题步骤 4

求导数，并计算其在 $π$ 处的值。

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解题步骤 4.1

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x)$

解题步骤 4.2

使用表达式中的 $π$ 替换变量 $x$ 。

$\sec^{2} (π)$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

${(- \sec (0))}^{2}$

解题步骤 4.3.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

${(- 1 \cdot 1)}^{2}$

解题步骤 4.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

${(- 1)}^{2}$

解题步骤 4.3.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1$

$1$

$1$

解题步骤 5

将分量代入线性方程中以求在 $a$ 处的线性化。

$L (x) = 0 + 1 (x - π)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $0$ 和 $1 (x - π)$ 相加。

$L (x) = 1 (x - π)$

解题步骤 6.2

将 $x - π$ 乘以 $1$ 。

$L (x) = x - π$

$L (x) = x - π$

解题步骤 7

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$