微积分学示例

$y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ , $[0, 2]$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

通过方程两边同时减去 $\frac{e^{- x}}{2}$ 的方法将其移到方程右边。

$\frac{e^{x}}{2} = - \frac{e^{- x}}{2}$

解题步骤 1.2.2

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$e^{x} = - e^{- x}$

解题步骤 1.2.3

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

无解

解题步骤 2

化简 $\frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{x}$ 。

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{- x}$ 。

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

解题步骤 3

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

解题步骤 4

用积分求 $0$ 和 $2$ 之间的面积。

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解题步骤 4.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - (0) d x$

解题步骤 4.2

从 $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$ 中减去 $0$ 。

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x$

解题步骤 4.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

解题步骤 4.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{x} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

解题步骤 4.5

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

解题步骤 4.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

解题步骤 4.7

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.7.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.7.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 4.7.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 4.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.7.2

将下限代入替换 $u = - x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 0$

解题步骤 4.7.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 4.7.4

将上限代入替换 $u = - x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

解题步骤 4.7.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = - 2$

解题步骤 4.7.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

解题步骤 4.7.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

解题步骤 4.8

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

解题步骤 4.9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- (e^{u}]_{0}^{- 2}))$

解题步骤 4.10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{u}]_{0}^{- 2}$ 。

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

解题步骤 4.11

代入并化简。

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解题步骤 4.11.1

计算 $e^{x}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

解题步骤 4.11.2

计算 $e^{u}$ 在 $- 2$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

解题步骤 4.11.3

化简。

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解题步骤 4.11.3.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

解题步骤 4.11.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

解题步骤 4.11.3.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1 \cdot 1}{2}$

解题步骤 4.11.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

解题步骤 4.11.3.5

要将 $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

解题步骤 4.11.3.6

组合 $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

解题步骤 4.11.3.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

解题步骤 4.11.3.8

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

解题步骤 4.11.3.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.11.3.9.1

约去公因数。

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

解题步骤 4.11.3.9.2

重写表达式。

$\frac{1 (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

解题步骤 4.11.3.10

将 $e^{2} - 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

解题步骤 5

加上面积 $\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$ 。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{e^{2} - 1 - (\frac{1}{e^{2}} - 1)}{2}$

解题步骤 5.1.2

运用分配律。

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} - - 1}{2}$

解题步骤 5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} + 1}{2}$

解题步骤 5.1.4

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}} + 0}{2}$

解题步骤 5.1.5

将 $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}}}{2}$

解题步骤 5.1.6

以因式分解的形式重写 $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ 。

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解题步骤 5.1.6.1

将 $\frac{1}{e^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{e})}^{2}$ 。

$\frac{e^{2} - {(\frac{1}{e})}^{2}}{2}$

解题步骤 5.1.6.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e$ 和 $b = \frac{1}{e}$ 。

$\frac{(e + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

解题步骤 5.1.7

要将 $e$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e}{e}$ 。

$\frac{(\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

解题步骤 5.1.8

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{e e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

解题步骤 5.1.9

乘以 $e e$ 。

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解题步骤 5.1.9.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{e^{1} e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

解题步骤 5.1.9.2

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

解题步骤 5.1.9.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

解题步骤 5.1.9.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

解题步骤 5.1.10

要将 $e$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e}{e}$ 。

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{e e}{e} - \frac{1}{e})}{2}$

解题步骤 5.1.11

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e e - 1}{e}}{2}$

解题步骤 5.1.12

化简分子。

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解题步骤 5.1.12.1

乘以 $e e$ 。

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解题步骤 5.1.12.1.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e - 1}{e}}{2}$

解题步骤 5.1.12.1.2

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e^{1} - 1}{e}}{2}$

解题步骤 5.1.12.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1 + 1} - 1}{e}}{2}$

解题步骤 5.1.12.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1}{e}}{2}$

解题步骤 5.1.12.2

以因式分解的形式重写 $e^{2} - 1$ 。

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解题步骤 5.1.12.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1^{2}}{e}}{2}$

解题步骤 5.1.12.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{2}$

解题步骤 5.2

将 $\frac{e^{2} + 1}{e}$ 乘以 $\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}$ 。

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) ((e + 1) (e - 1))}{e e}}{2}$

解题步骤 5.3

化简分母。

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解题步骤 5.3.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e}}{2}$

解题步骤 5.3.2

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e^{1}}}{2}$

解题步骤 5.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1 + 1}}}{2}$

解题步骤 5.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}}{2}$

解题步骤 5.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 5.5

合并。

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

解题步骤 5.6

化简表达式。

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解题步骤 5.6.1

将 $e^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2} \cdot 2}$

解题步骤 5.6.2

将 $2$ 移到 $e^{2}$ 的左侧。

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{2 e^{2}}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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