微积分学示例

$y = x^{2} + 2$ , $[0, 1]$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 2 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x^{2} = - 2$

解题步骤 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

解题步骤 1.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 2}$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (2)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

解题步骤 1.3

代入 $i \sqrt{2}$ 替换 $x$ 。

$y = 0$

解题步骤 1.4

列出所有解。

$y = 0, x = i \sqrt{2}$

$y = 0, x = - i \sqrt{2}$

$y = 0, x = i \sqrt{2}$

$y = 0, x = - i \sqrt{2}$

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{0}^{1} x^{2} + 2 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

解题步骤 3

用积分求 $0$ 和 $1$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{0}^{1} x^{2} + 2 - (0) d x$

解题步骤 3.2

从 $x^{2} + 2$ 中减去 $0$ 。

$\int_{0}^{1} x^{2} + 2 d x$

解题步骤 3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 d x$

解题步骤 3.4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 d x$

解题步骤 3.5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + 2 x]_{0}^{1}$

解题步骤 3.6

化简答案。

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解题步骤 3.6.1

组合 $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ 和 $2 x]_{0}^{1}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{0}^{1}$

解题步骤 3.6.2

代入并化简。

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解题步骤 3.6.2.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

解题步骤 3.6.2.2

化简。

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解题步骤 3.6.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

解题步骤 3.6.2.2.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} + 2 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

解题步骤 3.6.2.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} + 2 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

解题步骤 3.6.2.2.4

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

解题步骤 3.6.2.2.5

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

解题步骤 3.6.2.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

解题步骤 3.6.2.2.7

化简分子。

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解题步骤 3.6.2.2.7.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1 + 6}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

解题步骤 3.6.2.2.7.2

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$\frac{7}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

解题步骤 3.6.2.2.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{7}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0)$

解题步骤 3.6.2.2.9

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{7}{3} - (0 + 2 \cdot 0)$

解题步骤 3.6.2.2.10

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{7}{3} - (0 + 0)$

解题步骤 3.6.2.2.11

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7}{3} - 0$

解题步骤 3.6.2.2.12

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{7}{3} + 0$

解题步骤 3.6.2.2.13

将 $\frac{7}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7}{3}$

解题步骤 4

微积分学 示例

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