微积分学示例

$y^{2} + 2 y = 9 x^{2} + 8$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 1.1.1

从等式两边同时减去 $9 x^{2}$ 。

$y^{2} + 2 y - 9 x^{2} = 8$

解题步骤 1.1.2

移动 $2 y$ 。

$y^{2} - 9 x^{2} + 2 y = 8$

解题步骤 1.1.3

将 $y^{2}$ 和 $- 9 x^{2}$ 重新排序。

$- 9 x^{2} + y^{2} + 2 y = 8$

解题步骤 1.2

对 $y^{2} + 2 y$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去公因数。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2

重写表达式。

$d = 1$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.3.1

约去公因数。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3.2

重写表达式。

$e = 0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - 1$

解题步骤 1.2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$e = - 1$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y + 1)}^{2} - 1$ 。

${(y + 1)}^{2} - 1$

解题步骤 1.3

在方程 $- 9 x^{2} + y^{2} + 2 y = 8$ 中，用 ${(y + 1)}^{2} - 1$ 代替 $y^{2} + 2 y$ 。

$- 9 x^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = 8$

解题步骤 1.4

通过在等式两边同时加上 $1$ 的方法来将 $- 1$ 移到等式右边。

$- 9 x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 8 + 1$

解题步骤 1.5

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$- 9 x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$

解题步骤 1.6

将每一项除以 $9$ 以使方程右边等于一。

$- \frac{9 x^{2}}{9} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

解题步骤 1.7

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{1} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 3$

$b = 1$

$k = - 1$

$h = 0$

解题步骤 4

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 4.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{9 + {(1)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{9 + 1}$

解题步骤 4.3.3

将 $9$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{10}$

解题步骤 5

求焦点。

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解题步骤 5.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 5.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(0, - 1 + \sqrt{10})$

解题步骤 5.3

双曲线的第二个焦点可通过从 $k$ 中减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 5.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(0, - 1 - \sqrt{10})$

解题步骤 5.5

双曲线的焦点遵循 $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(0, - 1 + \sqrt{10}), (0, - 1 - \sqrt{10})$

解题步骤 6

微积分学 示例

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