微积分学示例

$y = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.1

从 $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $- 2 \cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) (- \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

解题步骤 3.1.2

从 $- 2 \sin (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 3.1.3

从 $2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

$- \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 3.3

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 3.3.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 3.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.3.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 3.3.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 3.3.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.3.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.3.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.3.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.3.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.4

将 $- \cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $- \cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$- \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $- \cos (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$- \cos (x) = 1$

解题步骤 3.4.2.2

将 $- \cos (x) = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $- \cos (x) = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2.2.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.2.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$\cos (x) = - 1$

解题步骤 3.4.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- 1)$

解题步骤 3.4.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.4.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 3.4.2.5

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - π$

解题步骤 3.4.2.6

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 3.4.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.4.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.4.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.4.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.4.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.5

最终解为使 $2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.6

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

求在 $x = π$ 处的原函数 $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.1

$f (π) = 2 \cos (π) + \cos^{2} (π)$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (π) = 2 (- \cos (0)) + \cos^{2} (π)$

解题步骤 4.2.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (π) = 2 (- 1 \cdot 1) + \cos^{2} (π)$

解题步骤 4.2.1.3

乘以 $2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 4.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (π) = 2 \cdot - 1 + \cos^{2} (π)$

解题步骤 4.2.1.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (π) = - 2 + \cos^{2} (π)$

解题步骤 4.2.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (π) = - 2 + {(- \cos (0))}^{2}$

解题步骤 4.2.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (π) = - 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

解题步骤 4.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (π) = - 2 + {(- 1)}^{2}$

解题步骤 4.2.1.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (π) = - 2 + 1$

解题步骤 4.2.2

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$f (π) = - 1$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 5

函数 $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ 的水平切线为 $y = x = π n, y = - 1$ 。

$y = x = π n, y = - 1$

解题步骤 6

微积分学 示例

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