微积分学示例

$y = - 8 x + e^{x}$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = - 8 x + e^{x}$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 8 x + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.2.3

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$- 8 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 8 + e^{x}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 8 + e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$e^{x} = 8$

解题步骤 3.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

解题步骤 3.3

展开左边。

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解题步骤 3.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (8)$

解题步骤 3.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (8)$

解题步骤 3.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (8)$

解题步骤 4

求在 $x = \ln (8)$ 处的原函数 $f (x) = - 8 x + e^{x}$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\ln (8)$ 替换变量 $x$ 。

$f (\ln (8)) = - 8 \ln (8) + e^{\ln (8)}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 8 \ln (8)$ 。

$f (\ln (8)) = - \ln (8^{8}) + e^{\ln (8)}$

解题步骤 4.2.1.2

对 $8$ 进行 $8$ 次方运算。

$f (\ln (8)) = - \ln (16777216) + e^{\ln (8)}$

解题步骤 4.2.1.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln (8)) = - \ln (16777216) + 8$

解题步骤 4.2.2

最终答案为 $- \ln (16777216) + 8$ 。

$- \ln (16777216) + 8$

解题步骤 5

函数 $f (x) = - 8 x + e^{x}$ 的水平切线为 $y = - \ln (16777216) + 8$ 。

$y = - \ln (16777216) + 8$

解题步骤 6

微积分学 示例

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