微积分学示例

$y = x - x^{2}$ , $(1, 0)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 0$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$1 - (2 x)$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - 2 x$

解题步骤 1.3

重新排序项。

$- 2 x + 1$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$- 2 \cdot 1 + 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$- 1$

解题步骤 2

法线垂直于切线。取切线斜率的负倒数来求法线的斜率。

$1$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $1$ 和给定点 $(1, 0)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$y = 1 \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$y = x - 1$

解题步骤 4

微积分学 示例

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