微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$f' (x) = \frac{\ln (x) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{\ln (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{\ln (x) - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 1.1.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = \frac{\ln (x) - x \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 1.1.4

化简项。

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解题步骤 1.1.4.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 1.1.4.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.1

约去公因数。

$f' (x) = \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 1.1.4.2.2

重写表达式。

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 1.1.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x) - 1$ 且 $g (x) = \ln^{2} (x)$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{{(\ln^{2} (x))}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

使用求加法法则求导。

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解题步骤 1.2.2.1

将 ${(\ln^{2} (x))}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{{(\ln (x))}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.2.2

根据加法法则， $\ln (x) - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} (- 1)) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.2.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + 0) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 1.2.4.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x}) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.4.2.2

组合 $\ln^{2} (x)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.5

将 $\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.6

化简项。

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解题步骤 1.2.6.1

合并。

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.6.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x}) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.6.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.3.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x}) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.6.3.2

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\ln (x)$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 u \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.7.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 \ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.9

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) (\frac{1}{x})))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.10

化简项。

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解题步骤 1.2.10.1

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) \frac{\ln (x)}{x})}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.10.2

组合 $\frac{\ln (x)}{x}$ 和 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{\ln (x) \cdot - 2}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.10.3

化简表达式。

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解题步骤 1.2.10.3.1

将 $- 2$ 移到 $\ln (x)$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.10.3.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- \frac{(2) \ln (x)}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.10.4

组合 $x$ 和 $\frac{2 \ln (x)}{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} \cdot (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.10.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.10.5.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} \cdot (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.10.5.2

用 $2 \ln (x)$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.10.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.11

化简。

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解题步骤 1.2.11.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.11.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.11.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (x)$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.11.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (x)$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - \ln (x^{2}) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.11.2.3

乘以 $- \ln (x^{2}) \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.2.11.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + 1 \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.11.2.3.2

将 $\ln (x^{2})$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.2.11.3

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)} = 0$

解题步骤 2.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx 7.38905639$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $7.38905639$ 代入 $f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $7.38905639$ 替换变量 $x$ 。

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{\ln (7.38905639)}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

使用近似值替换 $e$ 。

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{\log_{2.71828182} (7.38905639)}$

解题步骤 3.1.2.2

$7.38905639$ 的底数 $2.71828182$ 约为 $2.00000004$ 。

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{2.00000004}$

解题步骤 3.1.2.3

用 $7.38905639$ 除以 $2.00000004$ 。

$f (7.38905639) = 3.69452812$

解题步骤 3.1.2.4

最终答案为 $3.69452812$ 。

$3.69452812$

解题步骤 3.2

通过将 $7.38905639$ 代入 $f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$ 中求得的点为 $(7.38905639, 3.69452812)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(7.38905639, 3.69452812)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 7.38905639) \cup (7.38905639, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 7.38905639)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $7.28905639$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln ({(7.28905639)}^{2}) + \ln ({(7.28905639)}^{2})}{(7.28905639) \ln^{4} (7.28905639)}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $7.28905639$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln ({7.28905639}^{2})}{7.28905639 \ln^{4} (7.28905639)}$

解题步骤 5.2.1.2

对 $7.28905639$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{7.28905639 \ln^{4} (7.28905639)}$

解题步骤 5.2.2

将 $7.28905639$ 乘以 $\ln^{4} (7.28905639)$ 。

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

解题步骤 5.2.3

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (7.28905639) = \frac{{\log_{2.71828182}}^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

解题步骤 5.2.4

$7.28905639$ 的底数 $2.71828182$ 约为 $1.98637409$ 。

$f'' (7.28905639) = \frac{{1.98637409}^{2} - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

解题步骤 5.2.5

对 $1.98637409$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

解题步骤 5.2.6

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - \log_{2.71828182} (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

解题步骤 5.2.7

$7.28905639$ 的底数 $2.71828182$ 约为 $1.98637409$ 。

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1 \cdot (1.98637409 \ln (53.13034315)) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

解题步骤 5.2.8

将 $- 1$ 乘以 $1.98637409$ 。

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

解题步骤 5.2.9

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \log_{2.71828182} (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

解题步骤 5.2.10

$53.13034315$ 的底数 $2.71828182$ 约为 $3.97274819$ 。

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \cdot 3.97274819 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

解题步骤 5.2.11

将 $- 1.98637409$ 乘以 $3.97274819$ 。

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 7.89136412 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

解题步骤 5.2.12

从 $3.94568206$ 中减去 $7.89136412$ 。

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

解题步骤 5.2.13

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + \log_{2.71828182} (53.13034315)}{113.47899623}$

解题步骤 5.2.14

$53.13034315$ 的底数 $2.71828182$ 约为 $3.97274819$ 。

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + 3.97274819}{113.47899623}$

解题步骤 5.2.15

将 $- 3.94568206$ 和 $3.97274819$ 相加。

$f'' (7.28905639) = \frac{0.02706613}{113.47899623}$

解题步骤 5.2.16

用 $0.02706613$ 除以 $113.47899623$ 。

$f'' (7.28905639) = 0.00023851$

解题步骤 5.2.17

最终答案为 $0.00023851$ 。

$0.00023851$

解题步骤 5.3

在 $7.28905639$ 处，二阶导数为 $0.00023851$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, 7.38905639)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 7.38905639)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(7.38905639, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $7.48905639$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln ({(7.48905639)}^{2}) + \ln ({(7.48905639)}^{2})}{(7.48905639) \ln^{4} (7.48905639)}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $7.48905639$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln ({7.48905639}^{2})}{7.48905639 \ln^{4} (7.48905639)}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $7.48905639$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{7.48905639 \ln^{4} (7.48905639)}$

解题步骤 6.2.2

将 $7.48905639$ 乘以 $\ln^{4} (7.48905639)$ 。

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

解题步骤 6.2.3

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (7.48905639) = \frac{{\log_{2.71828182}}^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

解题步骤 6.2.4

$7.48905639$ 的底数 $2.71828182$ 约为 $2.0134428$ 。

$f'' (7.48905639) = \frac{{2.0134428}^{2} - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

解题步骤 6.2.5

对 $2.0134428$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

解题步骤 6.2.6

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - \log_{2.71828182} (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

解题步骤 6.2.7

$7.48905639$ 的底数 $2.71828182$ 约为 $2.0134428$ 。

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 1 \cdot (2.0134428 \ln (56.0859657)) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

解题步骤 6.2.8

将 $- 1$ 乘以 $2.0134428$ 。

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

解题步骤 6.2.9

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \log_{2.71828182} (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

解题步骤 6.2.10

$56.0859657$ 的底数 $2.71828182$ 约为 $4.02688561$ 。

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \cdot 4.02688561 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

解题步骤 6.2.11

将 $- 2.0134428$ 乘以 $4.02688561$ 。

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 8.10790388 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

解题步骤 6.2.12

从 $4.05395194$ 中减去 $8.10790388$ 。

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

解题步骤 6.2.13

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + \log_{2.71828182} (56.0859657)}{123.07909456}$

解题步骤 6.2.14

$56.0859657$ 的底数 $2.71828182$ 约为 $4.02688561$ 。

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + 4.02688561}{123.07909456}$

解题步骤 6.2.15

将 $- 4.05395194$ 和 $4.02688561$ 相加。

$f'' (7.48905639) = \frac{- 0.02706632}{123.07909456}$

解题步骤 6.2.16

用 $- 0.02706632$ 除以 $123.07909456$ 。

$f'' (7.48905639) = - 0.00021991$

解题步骤 6.2.17

最终答案为 $- 0.00021991$ 。

$- 0.00021991$

解题步骤 6.3

在 $7.48905639$ ，二阶导数为 $- 0.00021991$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(7.38905639, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(7.38905639, \infty)$ 上递减

解题步骤 7

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(7.38905639, 3.69452812)$ 。

$(7.38905639, 3.69452812)$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例