微积分学示例

$f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(2 - 5 x)}^{3}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{3}] + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 2 - 5 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 - 5 x$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $2 - 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

根据加法法则， $2 - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 相加。

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.5

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \cdot 1) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.7

将 $- 15$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} (2 x)$

解题步骤 1.1.3.9

将 $2$ 移到 ${(2 - 5 x)}^{3}$ 的左侧。

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 \cdot {(2 - 5 x)}^{3} x$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

从 $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ 中分解出因数 $x {(2 - 5 x)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.1.1

从 $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2})$ 中分解出因数 $x {(2 - 5 x)}^{2}$ 。

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$

解题步骤 1.1.4.1.2

从 $2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ 中分解出因数 $x {(2 - 5 x)}^{2}$ 。

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.1.3

从 $x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$ 中分解出因数 $x {(2 - 5 x)}^{2}$ 。

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15) + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.2

将 $- 15$ 移到 $x$ 的左侧。

$x {(2 - 5 x)}^{2} (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.3

将 ${(2 - 5 x)}^{2}$ 重写为 $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ 。

$x ((2 - 5 x) (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.4

使用 FOIL 方法展开 $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ 。

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解题步骤 1.1.4.4.1

运用分配律。

$x (2 (2 - 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.4.2

运用分配律。

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.4.3

运用分配律。

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.5.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x (4 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.5.1.2

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$x (4 - 10 x - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.5.1.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.5.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.5.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.5.1.5.1

移动 $x$ 。

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.5.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.5.1.6

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$x (4 - 10 x - 10 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.5.2

从 $- 10 x$ 中减去 $10 x$ 。

$x (4 - 20 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.6

运用分配律。

$(x \cdot 4 + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.7

化简。

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解题步骤 1.1.4.7.1

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$(4 \cdot x + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.7.2

使用乘法的交换性质重写。

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.7.3

使用乘法的交换性质重写。

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.8

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.8.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.8.1.1

移动 $x$ 。

$(4 x - 20 (x \cdot x) + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.8.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.8.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.8.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.8.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.8.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x^{1})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.8.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{2 + 1}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.8.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.1.4.9

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.9.1

运用分配律。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 \cdot 2 + 2 (- 5 x))$

解题步骤 1.1.4.9.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 + 2 (- 5 x))$

解题步骤 1.1.4.9.3

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 - 10 x)$

解题步骤 1.1.4.10

从 $- 15 x$ 中减去 $10 x$ 。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$

解题步骤 1.1.4.11

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$ 。

$4 x (- 25 x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 \cdot - 25 x \cdot x + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.12.2.1

移动 $x$ 。

$4 \cdot - 25 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 \cdot - 25 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12.3

将 $4$ 乘以 $- 25$ 。

$- 100 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12.4

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12.5

使用乘法的交换性质重写。

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{2} x - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.12.6.1

移动 $x$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x \cdot x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.12.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x^{1} x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{1 + 2} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12.7

将 $- 20$ 乘以 $- 25$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12.8

将 $4$ 乘以 $- 20$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12.9

使用乘法的交换性质重写。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{3} x + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12.10

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.12.10.1

移动 $x$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x \cdot x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12.10.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.1.4.12.10.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x^{1} x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{1 + 3} + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12.10.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12.11

将 $25$ 乘以 $- 25$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.1.4.12.12

将 $4$ 乘以 $25$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

解题步骤 1.1.4.13

从 $- 100 x^{2}$ 中减去 $80 x^{2}$ 。

$- 180 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

解题步骤 1.1.4.14

将 $500 x^{3}$ 和 $100 x^{3}$ 相加。

$f' (x) = - 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $- 180$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 180 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 180 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 180$ 。

$- 360 x + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [16 x]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 360 x + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 360 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

解题步骤 1.2.3.3

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$- 360 x + 16 + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

解题步骤 1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 625 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

因为 $- 625$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 625 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 625 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- 360 x + 16 - 625 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 360 x + 16 - 625 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

解题步骤 1.2.4.3

将 $4$ 乘以 $- 625$ 。

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

解题步骤 1.2.5

计算 $\frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

因为 $600$ 对于 $x$ 是常数，所以 $600 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $600 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 (3 x^{2})$

解题步骤 1.2.5.3

将 $3$ 乘以 $600$ 。

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 1800 x^{2}$

解题步骤 1.2.6

重新排序项。

$f'' (x) = - 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$ 。

$- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $- 2500 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 625 x^{3}) + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $1800 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) - 360 x + 16 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 360 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 16 = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 4 (4) = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 4 (4) = 0$

解题步骤 2.2.1.6

从 $4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2}) + 4 (- 90 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x) + 4 (4) = 0$

解题步骤 2.2.1.7

从 $4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x) + 4 (4)$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

使用有理根检验法因式分解 $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 625, \pm 5, \pm 125, \pm 25$

解题步骤 2.2.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.0016, \pm 0.2, \pm 0.008, \pm 0.04, \pm 4, \pm 0.0064, \pm 0.8, \pm 0.032, \pm 0.16, \pm 2, \pm 0.0032, \pm 0.4, \pm 0.016, \pm 0.08$

解题步骤 2.2.2.1.3

代入 $0.4$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $0.4$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.2.2.1.3.1

将 $0.4$ 代入多项式。

$- 625 \cdot {0.4}^{3} + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

解题步骤 2.2.2.1.3.2

对 $0.4$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 625 \cdot 0.064 + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

解题步骤 2.2.2.1.3.3

将 $- 625$ 乘以 $0.064$ 。

$- 40 + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

解题步骤 2.2.2.1.3.4

对 $0.4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 40 + 450 \cdot 0.16 - 90 \cdot 0.4 + 4$

解题步骤 2.2.2.1.3.5

将 $450$ 乘以 $0.16$ 。

$- 40 + 72 - 90 \cdot 0.4 + 4$

解题步骤 2.2.2.1.3.6

将 $- 40$ 和 $72$ 相加。

$32 - 90 \cdot 0.4 + 4$

解题步骤 2.2.2.1.3.7

将 $- 90$ 乘以 $0.4$ 。

$32 - 36 + 4$

解题步骤 2.2.2.1.3.8

从 $32$ 中减去 $36$ 。

$- 4 + 4$

解题步骤 2.2.2.1.3.9

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$0$

解题步骤 2.2.2.1.4

因为 $0.4$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $5 x - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4}{5 x - 2}$

解题步骤 2.2.2.1.5

用 $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ 除以 $5 x - 2$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$5 x$

$2$

$625 x^{3}$

$450 x^{2}$

$90 x$

$4$

解题步骤 2.2.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $- 625 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $5 x$ 。

				-	$125 x^{2}$
	$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$

解题步骤 2.2.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			-	$625 x^{3}$	+	$250 x^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 625 x^{3} + 250 x^{2}$ 中的所有符号

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$

解题步骤 2.2.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $200 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $5 x$ 。

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$

解题步骤 2.2.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					+	$200 x^{2}$	-	$80 x$

解题步骤 2.2.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $200 x^{2} - 80 x$ 中的所有符号

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$

解题步骤 2.2.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$

解题步骤 2.2.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$

解题步骤 2.2.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 10 x$ 除以除数中的最高阶项 $5 x$ 。

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$

解题步骤 2.2.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							-	$10 x$	+	$4$

解题步骤 2.2.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 10 x + 4$ 中的所有符号

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							+	$10 x$	-	$4$

解题步骤 2.2.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							+	$10 x$	-	$4$
										$0$

解题步骤 2.2.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- 125 x^{2} + 40 x - 2$

解题步骤 2.2.2.1.6

将 $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ 书写为因数的集合。

$4 ((5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$4 (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$5 x - 2 = 0$

$- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$

解题步骤 2.4

将 $5 x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $5 x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$5 x - 2 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $5 x - 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$5 x = 2$

解题步骤 2.4.2.2

将 $5 x = 2$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $5 x = 2$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

解题步骤 2.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2}{5}$

解题步骤 2.5

将 $- 125 x^{2} + 40 x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $- 125 x^{2} + 40 x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5.2.2

将 $a = - 125$ 、 $b = 40$ 和 $c = - 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (- 125 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.3

化简。

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解题步骤 2.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.3.1.1

对 $40$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 2.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 125$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2.2

将 $500$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.3.1.3

从 $1600$ 中减去 $1000$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.3.1.4

将 $600$ 重写为 $10^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 2.5.2.3.1.4.1

从 $600$ 中分解出因数 $100$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.3.1.4.2

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $- 125$ 。

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

解题步骤 2.5.2.3.3

化简 $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

解题步骤 2.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.4.1.1

对 $40$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 125$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2.2

将 $500$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.4.1.3

从 $1600$ 中减去 $1000$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.4.1.4

将 $600$ 重写为 $10^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.1.4.1

从 $600$ 中分解出因数 $100$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.4.1.4.2

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $- 125$ 。

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

解题步骤 2.5.2.4.3

化简 $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

解题步骤 2.5.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{4 + \sqrt{6}}{25}$

解题步骤 2.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.5.1.1

对 $40$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 2.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 125$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.5.1.2.2

将 $500$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.5.1.3

从 $1600$ 中减去 $1000$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.5.1.4

将 $600$ 重写为 $10^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 2.5.2.5.1.4.1

从 $600$ 中分解出因数 $100$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.5.1.4.2

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

解题步骤 2.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $- 125$ 。

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

解题步骤 2.5.2.5.3

化简 $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

解题步骤 2.5.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

解题步骤 2.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{4 + \sqrt{6}}{25}, \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $4 (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{2}{5}, \frac{4 + \sqrt{6}}{25}, \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{2}{5}$ 代入 $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $\frac{2}{5}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{2}{5}) = {(\frac{2}{5})}^{2} {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简表达式。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $\frac{2}{5}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{2}}{5^{2}} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5^{2}} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

解题步骤 3.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.1.1

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 + 5 (- 1) (\frac{2}{5}))}^{3}$

解题步骤 3.1.2.2.1.2

约去公因数。

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 + 5 \cdot (- 1 (\frac{2}{5})))}^{3}$

解题步骤 3.1.2.2.1.3

重写表达式。

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 1 \cdot 2)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 2)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 3.1.2.3.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot 0^{3}$

解题步骤 3.1.2.3.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot 0$

解题步骤 3.1.2.3.3

将 $\frac{4}{25}$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{2}{5}) = 0$

解题步骤 3.1.2.4

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.2

通过将 $\frac{2}{5}$ 代入 $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ 中求得的点为 $(\frac{2}{5}, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{2}{5}, 0)$

解题步骤 3.3

将 $0.25797958$ 代入 $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $0.25797958$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.25797958) = {(0.25797958)}^{2} {(2 - 5 \cdot 0.25797958)}^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

对 $0.25797958$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (0.25797958) = 0.06655346 {(2 - 5 \cdot 0.25797958)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 5$ 乘以 $0.25797958$ 。

$f (0.25797958) = 0.06655346 {(2 - 1.28989794)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.3

从 $2$ 中减去 $1.28989794$ 。

$f (0.25797958) = 0.06655346 \cdot {0.71010205}^{3}$

解题步骤 3.3.2.4

对 $0.71010205$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (0.25797958) = 0.06655346 \cdot 0.35806535$

解题步骤 3.3.2.5

将 $0.06655346$ 乘以 $0.35806535$ 。

$f (0.25797958) = 0.02383049$

解题步骤 3.3.2.6

最终答案为 $0.02383049$ 。

$0.02383049$

解题步骤 3.4

通过将 $0.25797958$ 代入 $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ 中求得的点为 $(0.25797958, 0.02383049)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0.25797958, 0.02383049)$

解题步骤 3.5

将 $0.06202041$ 代入 $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.5.1

使用表达式中的 $0.06202041$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.06202041) = {(0.06202041)}^{2} {(2 - 5 \cdot 0.06202041)}^{3}$

解题步骤 3.5.2

化简结果。

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解题步骤 3.5.2.1

对 $0.06202041$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (0.06202041) = 0.00384653 {(2 - 5 \cdot 0.06202041)}^{3}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $- 5$ 乘以 $0.06202041$ 。

$f (0.06202041) = 0.00384653 {(2 - 0.31010205)}^{3}$

解题步骤 3.5.2.3

从 $2$ 中减去 $0.31010205$ 。

$f (0.06202041) = 0.00384653 \cdot {1.68989794}^{3}$

解题步骤 3.5.2.4

对 $1.68989794$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (0.06202041) = 0.00384653 \cdot 4.82593464$

解题步骤 3.5.2.5

将 $0.00384653$ 乘以 $4.82593464$ 。

$f (0.06202041) = 0.0185631$

解题步骤 3.5.2.6

最终答案为 $0.0185631$ 。

$0.0185631$

解题步骤 3.6

通过将 $0.06202041$ 代入 $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ 中求得的点为 $(0.06202041, 0.0185631)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0.06202041, 0.0185631)$

解题步骤 3.7

确定可能是拐点的点。

$(\frac{2}{5}, 0), (0.25797958, 0.02383049), (0.06202041, 0.0185631)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0.06202041) \cup (0.06202041, 0.25797958) \cup (0.25797958, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 0.06202041)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.03797958$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.03797958) = - 2500 {(- 0.03797958)}^{3} + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 0.03797958$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.03797958) = - 2500 \cdot - 0.00005478 + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 2500$ 乘以 $- 0.00005478$ 。

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 0.03797958$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 1800 \cdot 0.00144244 - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

解题步骤 5.2.1.4

将 $1800$ 乘以 $0.00144244$ 。

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 2.59640862 - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

解题步骤 5.2.1.5

将 $- 360$ 乘以 $- 0.03797958$ 。

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 2.59640862 + 13.67265229 + 16$

解题步骤 5.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $0.13695907$ 和 $2.59640862$ 相加。

$f'' (- 0.03797958) = 2.73336769 + 13.67265229 + 16$

解题步骤 5.2.2.2

将 $2.73336769$ 和 $13.67265229$ 相加。

$f'' (- 0.03797958) = 16.40601999 + 16$

解题步骤 5.2.2.3

将 $16.40601999$ 和 $16$ 相加。

$f'' (- 0.03797958) = 32.40601999$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $32.40601999$ 。

$32.40601999$

解题步骤 5.3

在 $- 0.03797958$ 处，二阶导数为 $32.40601999$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, 0.06202041)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0.06202041)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(0.06202041, 0.25797958)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.15\overline{9}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.15\overline{9}) = - 2500 {(0.15\overline{9})}^{3} + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0.15\overline{9}$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.15\overline{9}) = - 2500 \cdot 0.004096 + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 2500$ 乘以 $0.004096$ 。

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

解题步骤 6.2.1.3

对 $0.15\overline{9}$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 1800 \cdot 0.0256 - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

解题步骤 6.2.1.4

将 $1800$ 乘以 $0.0256$ 。

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 46.08 - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

解题步骤 6.2.1.5

将 $- 360$ 乘以 $0.15\overline{9}$ 。

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 46.08 - 57.6 + 16$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- 10.24$ 和 $46.08$ 相加。

$f'' (0.15\overline{9}) = 35.84 - 57.6 + 16$

解题步骤 6.2.2.2

从 $35.84$ 中减去 $57.6$ 。

$f'' (0.15\overline{9}) = - 21.76 + 16$

解题步骤 6.2.2.3

将 $- 21.76$ 和 $16$ 相加。

$f'' (0.15\overline{9}) = - 5.76$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 5.76$ 。

$- 5.76$

解题步骤 6.3

在 $0.15\overline{9}$ ，二阶导数为 $- 5.76$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0.06202041, 0.25797958)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0.06202041, 0.25797958)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0.25797958, \frac{2}{5})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.32898979$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.32898979) = - 2500 {(0.32898979)}^{3} + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0.32898979$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.32898979) = - 2500 \cdot 0.03560797 + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 2500$ 乘以 $0.03560797$ 。

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

解题步骤 7.2.1.3

对 $0.32898979$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 1800 \cdot 0.10823428 - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

解题步骤 7.2.1.4

将 $1800$ 乘以 $0.10823428$ 。

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 194.82171321 - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

解题步骤 7.2.1.5

将 $- 360$ 乘以 $0.32898979$ 。

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 194.82171321 - 118.43632614 + 16$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $- 89.01993814$ 和 $194.82171321$ 相加。

$f'' (0.32898979) = 105.80177507 - 118.43632614 + 16$

解题步骤 7.2.2.2

从 $105.80177507$ 中减去 $118.43632614$ 。

$f'' (0.32898979) = - 12.63455107 + 16$

解题步骤 7.2.2.3

将 $- 12.63455107$ 和 $16$ 相加。

$f'' (0.32898979) = 3.36544892$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $3.36544892$ 。

$3.36544892$

解题步骤 7.3

在 $0.32898979$ 处，二阶导数为 $3.36544892$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0.25797958, \frac{2}{5})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0.25797958, \frac{2}{5})$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(\frac{2}{5}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $0.5$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.5) = - 2500 {(0.5)}^{3} + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.5) = - 2500 \cdot 0.125 + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 2500$ 乘以 $0.125$ 。

$f'' (0.5) = - 312.5 + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

解题步骤 8.2.1.3

对 $0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.5) = - 312.5 + 1800 \cdot 0.25 - 360 \cdot 0.5 + 16$

解题步骤 8.2.1.4

将 $1800$ 乘以 $0.25$ 。

$f'' (0.5) = - 312.5 + 450 - 360 \cdot 0.5 + 16$

解题步骤 8.2.1.5

将 $- 360$ 乘以 $0.5$ 。

$f'' (0.5) = - 312.5 + 450 - 180 + 16$

解题步骤 8.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $- 312.5$ 和 $450$ 相加。

$f'' (0.5) = 137.5 - 180 + 16$

解题步骤 8.2.2.2

从 $137.5$ 中减去 $180$ 。

$f'' (0.5) = - 42.5 + 16$

解题步骤 8.2.2.3

将 $- 42.5$ 和 $16$ 相加。

$f'' (0.5) = - 26.5$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $- 26.5$ 。

$- 26.5$

解题步骤 8.3

在 $0.5$ ，二阶导数为 $- 26.5$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(\frac{2}{5}, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{2}{5}, \infty)$ 上递减

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(0.06202041, 0.0185631), (0.25797958, 0.02383049), (\frac{2}{5}, 0)$ 。

$(0.06202041, 0.0185631), (0.25797958, 0.02383049), (\frac{2}{5}, 0)$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例