微积分学示例

$f (x) = \cos (x)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x)$

解题步骤 5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

计算 $\sin (x)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (1 - \sin (0))$

解题步骤 6.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (1 - 0)$

解题步骤 6.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (1 + 0)$

解题步骤 6.2.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (1)$

解题步骤 7

化简分母。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + 0} \cdot 1$

解题步骤 7.2

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2}} \cdot 1$

解题步骤 8

将分子乘以分母的倒数。

$A (x) = 1 (\frac{2}{π}) \cdot 1$

解题步骤 9

将 $\frac{2}{π}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot 1$

解题步骤 10

将 $\frac{2}{π}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{2}{π}$

解题步骤 11

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