微积分学示例

$f (x) = e^{\sin (x)} \cos (x)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (x)} \cos (x) d x)$

解题步骤 5

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 5.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \sin (0)$

解题步骤 5.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 5.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{1} e^{u} d u)$

解题步骤 6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e^{u}]_{0}^{1})$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $e^{u}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} ((e) - e^{0})$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

化简。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - e^{0})$

解题步骤 7.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1 \cdot 1)$

解题步骤 7.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1)$

解题步骤 8

化简分母。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + 0} \cdot (e - 1)$

解题步骤 8.2

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2}} \cdot (e - 1)$

解题步骤 9

将分子乘以分母的倒数。

$A (x) = 1 (\frac{2}{π}) \cdot (e - 1)$

解题步骤 10

将 $\frac{2}{π}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot (e - 1)$

解题步骤 11

运用分配律。

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot e + \frac{2}{π} \cdot - 1$

解题步骤 12

组合 $\frac{2}{π}$ 和 $e$ 。

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{2}{π} \cdot - 1$

解题步骤 13

乘以 $\frac{2}{π} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{2}{π}$ 和 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{2 \cdot - 1}{π}$

解题步骤 13.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{- 2}{π}$

解题步骤 14

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{2 e}{π} - \frac{2}{π}$

解题步骤 15

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