微积分学示例

$f (x) = 4 e^{x}$ , $[- 2, 2]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} 4 e^{x} d x)$

解题步骤 5

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 \int_{- 2}^{2} e^{x} d x)$

解题步骤 6

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 (e^{x}]_{- 2}^{2}))$

解题步骤 7

计算 $e^{x}$ 在 $2$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 (e^{2} - e^{- 2}))$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 (e^{2} - \frac{1}{e^{2}}))$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} + 4 (- \frac{1}{e^{2}}))$

解题步骤 8.3

乘以 $4 (- \frac{1}{e^{2}})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} - 4 \frac{1}{e^{2}})$

解题步骤 8.3.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} + \frac{- 4}{e^{2}})$

解题步骤 8.4

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} - \frac{4}{e^{2}})$

解题步骤 9

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 e^{2} - \frac{4}{e^{2}})$

解题步骤 10

运用分配律。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 e^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

解题步骤 11

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

从 $4 e^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 (e^{2})) + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

解题步骤 11.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 e^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

解题步骤 11.3

重写表达式。

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

解题步骤 12

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

将 $- \frac{4}{e^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 4}{e^{2}}$

解题步骤 12.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (- 1)}{e^{2}}$

解题步骤 12.3

约去公因数。

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{e^{2}}$

解题步骤 12.4

重写表达式。

$A (x) = e^{2} + \frac{- 1}{e^{2}}$

解题步骤 13

将负号移到分数的前面。

$A (x) = e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$

解题步骤 14

微积分学 示例

微积分学示例