微积分学示例

$\sec^{6} (x)$

解题步骤 1

将 $\sec^{6} (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sec^{6} (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sec^{6} (x) d x$

解题步骤 4

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.1

把 $6$ 重写为 $4$ 加 $2$

$\int {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

解题步骤 4.2

将 ${\sec (x)}^{4 + 2}$ 重写为 $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ 。

$\int \sec^{4} (x) \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 4.3

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 4.4

将 ${\sec (x)}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$\int {(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 5

使用勾股定理，将 $\sec^{2} (x)$ 重写成 $1 + \tan^{2} (x)$ 的形式。

$\int {(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 6

使 $u = \tan (x)$ 。然后使 $d u = \sec^{2} (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = \tan (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $\tan (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 6.1.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x)$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int {(1 + u^{2})}^{2} d u$

解题步骤 7

展开 ${(1 + u^{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 7.1

将 ${(1 + u^{2})}^{2}$ 重写为 $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ 。

$\int (1 + u^{2}) (1 + u^{2}) d u$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\int 1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 7.5

将 $u^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 7.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 + 1 u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 7.7

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 + u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 7.8

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 7.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2} d u$

解题步骤 7.10

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{4} d u$

解题步骤 7.11

将 $u^{2}$ 和 $u^{2}$ 相加。

$\int 1 + 2 u^{2} + u^{4} d u$

解题步骤 7.12

将 $2 u^{2}$ 和 $u^{4}$ 重新排序。

$\int 1 + u^{4} + 2 u^{2} d u$

解题步骤 7.13

移动 $1$ 。

$\int u^{4} + 2 u^{2} + 1 d u$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{4} d u + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

解题步骤 10

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 \int u^{2} d u + \int d u$

解题步骤 11

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

解题步骤 12

应用常数不变法则。

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

解题步骤 13.2

化简。

$\frac{u^{5}}{5} + \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

解题步骤 14

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\tan^{5} (x)}{5} + \frac{2 \tan^{3} (x)}{3} + \tan (x) + C$

解题步骤 15

重新排序项。

$\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{2}{3} \tan^{3} (x) + \tan (x) + C$

解题步骤 16

答案是函数 $f (x) = \sec^{6} (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{2}{3} \tan^{3} (x) + \tan (x) + C$

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