微积分学示例

$5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

将 $5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 5^{x} \ln (5) d x + \int \frac{2}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 5

由于 $\ln (5)$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\ln (5)$ 移到积分外。

$\ln (5) \int 5^{x} d x + \int \frac{2}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 6

$5^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ 。

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + \int \frac{2}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + 2 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + 2 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 8.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + 2 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 9

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C$ 。

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + 2 (\arctan (x) + C)$

解题步骤 10

化简。

$5^{x} + 2 \arctan (x) + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = 5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $5^{x} + 2 \arctan (x) + C$

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