微积分学示例

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int {(\sin (x) + \cos (x))}^{2} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ 重写为 $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ 。

$\int (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

解题步骤 4.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$\int \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

解题步骤 4.2.3

运用分配律。

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

解题步骤 4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.3.1.1.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

解题步骤 4.3.1.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

解题步骤 4.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

解题步骤 4.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

解题步骤 4.3.1.2

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

解题步骤 4.3.1.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

解题步骤 4.3.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

解题步骤 4.3.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 4.3.2

重新排序 $\sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$\int \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 4.3.3

将 $\cos (x) \sin (x)$ 和 $\cos (x) \sin (x)$ 相加。

$\int \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 4.4

移动 $\cos^{2} (x)$ 。

$\int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

解题步骤 4.5

使用勾股恒等式。

$\int 1 + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

解题步骤 4.6

化简每一项。

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解题步骤 4.6.1

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\int 1 + \sin (x) (2 \cos (x)) d x$

解题步骤 4.6.2

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$\int 1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) d x$

解题步骤 4.6.3

使用正弦倍角公式。

$\int 1 + \sin (2 x) d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d x + \int \sin (2 x) d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$x + C + \int \sin (2 x) d x$

解题步骤 7

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 7.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$x + C + \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 8

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x + C + \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x + C + \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

解题步骤 10

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$x + C + \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

解题步骤 11

化简。

$x - \frac{\cos (u)}{2} + C$

解题步骤 12

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x - \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

解题步骤 13

重新排序项。

$x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

解题步骤 14

答案是函数 $f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

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