微积分学示例

$\frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)}$

解题步骤 1

将 $\frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)}$ 书写为一个函数。

$f (θ) = \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (θ)$ 的不定积分求函数 $F (θ)$ 。

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (θ) = \int \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)} d θ$

解题步骤 4

重新整理项。

$\int \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{\tan^{2} (θ) + 1} d θ$

解题步骤 5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

解题步骤 6

约去 $\sec^{3} (θ)$ 和 $\sec^{2} (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

从 $\sec^{3} (θ) \tan (θ)$ 中分解出因数 $\sec^{2} (θ)$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ))}{\sec^{2} (θ)} d θ$

解题步骤 6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.1

乘以 $1$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ))}{\sec^{2} (θ) \cdot 1} d θ$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

$\int \frac{\sec^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ))}{\sec^{2} (θ) \cdot 1} d θ$

解题步骤 6.2.3

重写表达式。

$\int \frac{\sec (θ) \tan (θ)}{1} d θ$

解题步骤 6.2.4

用 $\sec (θ) \tan (θ)$ 除以 $1$ 。

$\int \sec (θ) \tan (θ) d θ$

解题步骤 7

因为 $\sec (θ)$ 的导数为 $\sec (θ) \tan (θ)$ ，所以 $\sec (θ) \tan (θ)$ 的积分为 $\sec (θ)$ 。

$\sec (θ) + C$

解题步骤 8

答案是函数 $f (θ) = \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)}$ 的不定积分。

$F (θ) =$ $\sec (θ) + C$

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