微积分学示例

$\frac{x^{2}}{(9 + x^{6})}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{2}}{(9 + x^{6})}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{2}}{(9 + x^{6})}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{9 + x^{6}} d x$

解题步骤 4

将 $x^{6}$ 重写为 ${(x^{3})}^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2}}{9 + {(x^{3})}^{2}} d x$

解题步骤 5

使 $u = x^{3}$ 。然后使 $d u = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = x^{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $x^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 5.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2}$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{9 + u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{9 + u^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{1}{(9 + u^{2}) \cdot 3} d u$

解题步骤 6.2

将 $3$ 移到 $9 + u^{2}$ 的左侧。

$\int \frac{1}{3 (9 + u^{2})} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{9 + u^{2}} d u$

解题步骤 8

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3^{2} + u^{2}} d u$

解题步骤 9

$\frac{1}{3^{2} + u^{2}}$ 对 $u$ 的积分为 $\frac{1}{3} \arctan (\frac{u}{3}) + C$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \arctan (\frac{u}{3}) + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\arctan (\frac{u}{3})$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{\arctan (\frac{u}{3})}{3} + C)$

解题步骤 10.2

将 $\frac{1}{3} (\frac{\arctan (\frac{u}{3})}{3} + C)$ 重写为 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3 \cdot 3} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$

解题步骤 10.3.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$

解题步骤 11

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{9 + x^{6}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

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