微积分学示例

$x e^{\frac{x}{2}}$

解题步骤 1

将 $x e^{\frac{x}{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x e^{\frac{x}{2}} d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{\frac{x}{2}}$ 。

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - \int 2 e^{\frac{1}{2} x} d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{x}{2}} d x)$

解题步骤 6.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{\frac{x}{2}} d x$

解题步骤 7

使 $u = \frac{x}{2}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{2} d x$ ，以便 $2 d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = \frac{x}{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $\frac{x}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 7.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

解题步骤 8.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \cdot 2 d u$

解题步骤 8.3

将 $2$ 移到 $e^{u}$ 的左侧。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int 2 e^{u} d u$

解题步骤 9

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 (2 \int e^{u} d u)$

解题步骤 10

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 \int e^{u} d u$

解题步骤 11

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$

解题步骤 12

将 $x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$ 重写为 $2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$ 。

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$

解题步骤 13

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}} + C$

解题步骤 14

重新排序项。

$2 x e^{\frac{1}{2} x} - 4 e^{\frac{1}{2} x} + C$

解题步骤 15

答案是函数 $f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 x e^{\frac{1}{2} x} - 4 e^{\frac{1}{2} x} + C$

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