微积分学示例

$\frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

解题步骤 4

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - x^{2})}^{3}}} d x$

解题步骤 5

使 $x = 4 \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 4 \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $4 \cos (t)$ 为正数。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

化简 $\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ 。

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解题步骤 6.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.1

对 $4 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (4^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 6.1.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (16 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 6.1.1.3

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 6.1.2

从 $16$ 中分解出因数 $16$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 6.1.3

从 $- 16 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $16$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 6.1.4

从 $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $16$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 6.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 \cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 6.1.6

对 $16 \cos^{2} (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\sqrt{16^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 6.1.7

对 $16$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 6.1.8

将 ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 6.1.8.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 \cos^{6} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 6.1.9

将 $4096 \cos^{6} (t)$ 重写为 ${(64 \cos^{3} (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(64 \cos^{3} (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 6.1.10

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{64 \cos^{3} (t)} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 6.2

约去 $4 \cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $64 \cos^{3} (t)$ 中分解出因数 $4 \cos (t)$ 。

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 6.2.3

重写表达式。

$\int \frac{1}{16 \cos^{2} (t)} d t$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{16}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{16}$ 移到积分外。

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

解题步骤 8

将 $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ 转换成 $\sec^{2} (t)$ 。

$\frac{1}{16} \int \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 9

因为 $\tan (t)$ 的导数为 $\sec^{2} (t)$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 的积分为 $\tan (t)$ 。

$\frac{1}{16} (\tan (t) + C)$

解题步骤 10

化简。

$\frac{1}{16} \tan (t) + C$

解题步骤 11

使用 $\arcsin (\frac{x}{4})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{x}{4})) + C$

解题步骤 12

重新排序项。

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$

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