微积分学示例

$\sin^{2} (x) \cos^{3} (x)$

解题步骤 1

将 $\sin^{2} (x) \cos^{3} (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sin^{2} (x) \cos^{3} (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sin^{2} (x) \cos^{3} (x) d x$

解题步骤 4

因式分解出 $\cos^{2} (x)$ 。

$\int \sin^{2} (x) (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x$

解题步骤 5

使用勾股定理，将 $\cos^{2} (x)$ 重写成 $1 - \sin^{2} (x)$ 的形式。

$\int \sin^{2} (x) ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x$

解题步骤 6

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 6.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{2} (1 - u^{2}) d u$

解题步骤 7

乘以 $u^{2} (1 - u^{2})$ 。

$\int u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u^{2}) d u$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int u^{2} + u^{2} (- u^{2}) d u$

解题步骤 8.2

通过指数相加将 $u^{2}$ 乘以 $u^{2}$ 。

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解题步骤 8.2.1

移动 $u^{2}$ 。

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} \cdot - 1 d u$

解题步骤 8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{2} + u^{2 + 2} \cdot - 1 d u$

解题步骤 8.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int u^{2} + u^{4} \cdot - 1 d u$

解题步骤 8.3

将 $- 1$ 移到 $u^{4}$ 的左侧。

$\int u^{2} - 1 \cdot u^{4} d u$

解题步骤 8.4

将 $- 1 u^{4}$ 重写为 $- u^{4}$ 。

$\int u^{2} - u^{4} d u$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{2} d u + \int - u^{4} d u$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - u^{4} d u$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} u^{3} + C - \int u^{4} d u$

解题步骤 12

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

解题步骤 13

化简。

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + C$

解题步骤 14

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$

解题步骤 15

答案是函数 $f (x) = \sin^{2} (x) \cos^{3} (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$

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