微积分学示例

$\frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{2} \cdot (x^{2} \ln (x)) - \frac{3}{4} x^{2} d x$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2} d x$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{x^{2}}{2}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\int \frac{x^{2} \ln (x)}{2} - \frac{3}{4} x^{2} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{x^{2} \ln (x)}{2} d x + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int x^{2} \ln (x) d x + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

解题步骤 7

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

解题步骤 8.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

解题步骤 8.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

解题步骤 8.4

将 $\frac{x^{3}}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3 x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

解题步骤 8.5

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.5.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

解题步骤 8.5.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.5.2.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

解题步骤 8.5.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

解题步骤 8.5.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{2}}{3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

解题步骤 12

由于 $- \frac{3}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{3}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) - \frac{3}{4} \int x^{2} d x$

解题步骤 13

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 14

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

化简。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 14.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3} + C$

解题步骤 14.2.2

将 $\frac{x^{3}}{3}$ 乘以 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3} \cdot 3}{3 \cdot 4} + C$

解题步骤 14.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3} \cdot 3}{12} + C$

解题步骤 14.2.4

将 $3$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 \cdot x^{3}}{12} + C$

解题步骤 14.2.5

约去 $3$ 和 $12$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.5.1

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 (x^{3})}{12} + C$

解题步骤 14.2.5.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.5.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 x^{3}}{3 \cdot 4} + C$

解题步骤 14.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 x^{3}}{3 \cdot 4} + C$

解题步骤 14.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3}}{4} + C$

解题步骤 14.2.6

要将 $\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot \frac{4}{4} - \frac{x^{3}}{4} + C$

解题步骤 14.2.7

组合 $\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9})$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot 4}{4} - \frac{x^{3}}{4} + C$

解题步骤 14.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot 4 - x^{3}}{4} + C$

解题步骤 14.2.9

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\frac{4}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

解题步骤 14.2.10

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.10.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

解题步骤 14.2.10.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

解题步骤 14.2.10.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

解题步骤 14.2.10.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{2}{1} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

解题步骤 14.2.10.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

解题步骤 15

重新排序项。

$\frac{1}{4} (2 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) - x^{3}) + C$

解题步骤 16

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} \ln (x)) - \frac{3}{4} x^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) - x^{3}) + C$

微积分学 示例

微积分学示例