微积分学示例

$x^{2} \sqrt{x - 1}$

解题步骤 1

将 $x^{2} \sqrt{x - 1}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2} \sqrt{x - 1}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{2} \sqrt{x - 1} d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = \sqrt{x - 1}$ 。

$x^{2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$x^{2} \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

解题步骤 5.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{2}{3} \cdot 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3} \cdot 2$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 2 \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{3} \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

解题步骤 8

使 $u = x - 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 8.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 8.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (u + 1) d u$

解题步骤 9

展开 $u^{\frac{3}{2}} (u + 1)$ 。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot 1 d u$

解题步骤 9.2

将 $u^{\frac{3}{2}}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 9.3

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u^{1} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + 1} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 9.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 9.6

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3 + 2}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 9.7

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 9.8

将 $u^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\int u^{\frac{5}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

解题步骤 11

根据幂法则， $u^{\frac{5}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ 。

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

解题步骤 12

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简。

$\frac{2}{3} x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 13.2

化简。

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解题步骤 13.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2}}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 13.2.2

组合 $\frac{2 x^{2}}{3}$ 和 ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 13.2.3

要将 $- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot \frac{3}{3} + C$

解题步骤 13.2.4

组合 $- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 13.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 13.2.6

组合 $\frac{2}{7}$ 和 $u^{\frac{7}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 13.2.7

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $u^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 13.2.8

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{4}{3}) (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

解题步骤 13.2.9

组合 $- 3$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

解题步骤 13.2.10

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

解题步骤 13.2.11

约去 $- 12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.11.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

解题步骤 13.2.11.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.11.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

解题步骤 13.2.11.2.2

约去公因数。

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

解题步骤 13.2.11.2.3

重写表达式。

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

解题步骤 13.2.11.2.4

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

解题步骤 14

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

解题步骤 15

重新排序项。

$\frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{7} {(x - 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})) + C$

解题步骤 16

答案是函数 $f (x) = x^{2} \sqrt{x - 1}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{7} {(x - 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})) + C$

微积分学 示例

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