微积分学示例

$y = 6 x + 7$ , $y = x^{2}$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = 6 x + 7$ 和 $g (x) = x^{2}$ 时， $V = π \int_{- 1}^{7} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

将 ${(6 x + 7)}^{2}$ 重写为 $(6 x + 7) (6 x + 7)$ 。

$V = (6 x + 7) (6 x + 7) - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(6 x + 7) (6 x + 7)$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$V = 6 x (6 x + 7) + 7 (6 x + 7) - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$V = 6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x + 7) - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$V = 6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$V = 6 \cdot (6 x \cdot x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$V = 6 \cdot (6 (x \cdot x)) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$V = 6 \cdot (6 x^{2}) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.3

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$V = 36 x^{2} + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.4

将 $7$ 乘以 $6$ 。

$V = 36 x^{2} + 42 x + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.5

将 $6$ 乘以 $7$ 。

$V = 36 x^{2} + 42 x + 42 x + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.6

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$V = 36 x^{2} + 42 x + 42 x + 49 - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.3.2

将 $42 x$ 和 $42 x$ 相加。

$V = 36 x^{2} + 84 x + 49 - {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 2.4

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = 36 x^{2} + 84 x + 49 - x^{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$V = 36 x^{2} + 84 x + 49 - x^{4}$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{- 1}^{7} 36 x^{2} d x + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

解题步骤 4

由于 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $36$ 移到积分外。

$V = π (36 \int_{- 1}^{7} x^{2} d x + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$V = π (36 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

解题步骤 7

由于 $84$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $84$ 移到积分外。

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 \int_{- 1}^{7} x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - \int_{- 1}^{7} x^{4} d x)$

解题步骤 12

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{7}))$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

解题步骤 13.2

代入并化简。

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解题步骤 13.2.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $7$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$V = π (36 ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

解题步骤 13.2.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $7$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$V = π (36 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

解题步骤 13.2.3

计算 $49 x$ 在 $7$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$V = π (36 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

解题步骤 13.2.4

计算 $\frac{x^{5}}{5}$ 在 $7$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$V = π (36 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5

化简。

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解题步骤 13.2.5.1

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (36 (\frac{343}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (36 (\frac{343}{3} - \frac{- 1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$V = π (36 (\frac{343}{3} + \frac{1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = π (36 (\frac{343}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.5

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$V = π (36 (\frac{343}{3} + \frac{1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.6

在公分母上合并分子。

$V = π (36 (\frac{343 + 1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.7

将 $343$ 和 $1$ 相加。

$V = π (36 (\frac{344}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.8

组合 $36$ 和 $\frac{344}{3}$ 。

$V = π (\frac{36 \cdot 344}{3} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.9

将 $36$ 乘以 $344$ 。

$V = π (\frac{12384}{3} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.10

约去 $12384$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.5.10.1

从 $12384$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (\frac{3 \cdot 4128}{3} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.10.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.5.10.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (\frac{3 \cdot 4128}{3 (1)} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.10.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{3 \cdot 4128}{3 \cdot 1} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.10.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{4128}{1} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.10.2.4

用 $4128$ 除以 $1$ 。

$V = π (4128 + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.11

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = π (4128 + 84 (\frac{49}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.12

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = π (4128 + 84 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.13

在公分母上合并分子。

$V = π (4128 + 84 (\frac{49 - 1}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.14

从 $49$ 中减去 $1$ 。

$V = π (4128 + 84 (\frac{48}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.15

约去 $48$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.5.15.1

从 $48$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (4128 + 84 (\frac{2 \cdot 24}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.15.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.5.15.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (4128 + 84 (\frac{2 \cdot 24}{2 (1)}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.15.2.2

约去公因数。

$V = π (4128 + 84 (\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.15.2.3

重写表达式。

$V = π (4128 + 84 (\frac{24}{1}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.15.2.4

用 $24$ 除以 $1$ 。

$V = π (4128 + 84 \cdot 24 + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.16

将 $84$ 乘以 $24$ 。

$V = π (4128 + 2016 + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.17

将 $4128$ 和 $2016$ 相加。

$V = π (6144 + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.18

将 $49$ 乘以 $7$ 。

$V = π (6144 + 343 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.19

将 $- 49$ 乘以 $- 1$ 。

$V = π (6144 + 343 + 49 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.20

将 $343$ 和 $49$ 相加。

$V = π (6144 + 392 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.21

将 $6144$ 和 $392$ 相加。

$V = π (6536 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.22

对 $7$ 进行 $5$ 次方运算。

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

解题步骤 13.2.5.23

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} - \frac{- 1}{5}))$

解题步骤 13.2.5.24

将负号移到分数的前面。

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} + \frac{1}{5}))$

解题步骤 13.2.5.25

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} + 1 (\frac{1}{5})))$

解题步骤 13.2.5.26

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $1$ 。

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} + \frac{1}{5}))$

解题步骤 13.2.5.27

在公分母上合并分子。

$V = π (6536 - \frac{16807 + 1}{5})$

解题步骤 13.2.5.28

将 $16807$ 和 $1$ 相加。

$V = π (6536 - \frac{16808}{5})$

解题步骤 13.2.5.29

要将 $6536$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (6536 \cdot \frac{5}{5} - \frac{16808}{5})$

解题步骤 13.2.5.30

组合 $6536$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{6536 \cdot 5}{5} - \frac{16808}{5})$

解题步骤 13.2.5.31

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{6536 \cdot 5 - 16808}{5})$

解题步骤 13.2.5.32

化简分子。

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解题步骤 13.2.5.32.1

将 $6536$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{32680 - 16808}{5})$

解题步骤 13.2.5.32.2

从 $32680$ 中减去 $16808$ 。

$V = π (\frac{15872}{5})$

解题步骤 13.2.5.33

组合 $π$ 和 $\frac{15872}{5}$ 。

$V = \frac{π \cdot 15872}{5}$

解题步骤 13.2.5.34

将 $15872$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = \frac{15872 π}{5}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{15872 π}{5}$

小数形式：

$V = 9972.67171955 \dots$

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例