微积分学示例

$y = 3 + 2 x - x^{2}$ , $x + y = 3$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ 和 $g (x) = 3 - x$ 时， $V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简被积函数。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 ${(- x^{2} + 2 x + 3)}^{2}$ 重写为 $(- x^{2} + 2 x + 3) (- x^{2} + 2 x + 3)$ 。

$V = (- x^{2} + 2 x + 3) (- x^{2} + 2 x + 3) - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- x^{2} + 2 x + 3) (- x^{2} + 2 x + 3)$ 。

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = 1 x^{4} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.4

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$V = x^{4} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.5

使用乘法的交换性质重写。

$V = x^{4} - 1 \cdot (2 x^{2} x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.3.6.1

移动 $x$ 。

$V = x^{4} - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$V = x^{4} - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = x^{4} - 1 \cdot (2 x^{1 + 2}) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$V = x^{4} - 1 \cdot (2 x^{3}) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$V = x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.8

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.9

使用乘法的交换性质重写。

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x \cdot x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.10

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.10.1

移动 $x^{2}$ 。

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x)) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.10.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.3.10.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x)) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{2 + 1}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.10.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{3}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.11

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.12

使用乘法的交换性质重写。

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.13

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.3.13.1

移动 $x$ 。

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.13.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.14

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.15

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.16

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.17

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.18

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} + 6 x + 9 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.4

从 $- 2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} + 6 x + 9 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.5

将 $- 3 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$V = x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} + 6 x - 3 x^{2} + 6 x + 9 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.6

从 $x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.7

将 $6 x$ 和 $6 x$ 相加。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - {(3 - x)}^{2}$

解题步骤 2.1.8

将 ${(3 - x)}^{2}$ 重写为 $(3 - x) (3 - x)$ 。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - ((3 - x) (3 - x))$

解题步骤 2.1.9

使用 FOIL 方法展开 $(3 - x) (3 - x)$ 。

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解题步骤 2.1.9.1

运用分配律。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (3 (3 - x) - x (3 - x))$

解题步骤 2.1.9.2

运用分配律。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x))$

解题步骤 2.1.9.3

运用分配律。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))$

解题步骤 2.1.10

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.10.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.10.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))$

解题步骤 2.1.10.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x))$

解题步骤 2.1.10.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - 3 x - x (- x))$

解题步骤 2.1.10.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x))$

解题步骤 2.1.10.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.10.1.5.1

移动 $x$ 。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)))$

解题步骤 2.1.10.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot (- 1 x^{2}))$

解题步骤 2.1.10.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2})$

解题步骤 2.1.10.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - 3 x + x^{2})$

解题步骤 2.1.10.2

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 6 x + x^{2})$

解题步骤 2.1.11

运用分配律。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - 1 \cdot 9 - (- 6 x) - x^{2}$

解题步骤 2.1.12

化简。

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解题步骤 2.1.12.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - 9 - (- 6 x) - x^{2}$

解题步骤 2.1.12.2

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - 9 + 6 x - x^{2}$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

合并 $x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - 9 + 6 x - x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 0 + 6 x - x^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x$ 和 $0$ 相加。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 6 x - x^{2}$

解题步骤 2.2.2

从 $- 2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x + 6 x$

解题步骤 2.2.3

将 $12 x$ 和 $6 x$ 相加。

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 18 x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{0}^{3} x^{4} d x + \int_{0}^{3} - 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

解题步骤 6

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 \int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

解题步骤 9

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

解题步骤 12

由于 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $18$ 移到积分外。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 \int_{0}^{3} x d x)$

解题步骤 13

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}))$

解题步骤 14

化简答案。

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解题步骤 14.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}))$

解题步骤 14.2

代入并化简。

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解题步骤 14.2.1

计算 $\frac{x^{5}}{5}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π ((\frac{3^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}))$

解题步骤 14.2.2

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}))$

解题步骤 14.2.3

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}))$

解题步骤 14.2.4

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5

化简。

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解题步骤 14.2.5.1

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$V = π (\frac{243}{5} - \frac{0^{5}}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (\frac{243}{5} - \frac{0}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.3

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.5.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$V = π (\frac{243}{5} - \frac{5 (0)}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.5.3.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$V = π (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.3.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.3.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{243}{5} - \frac{0}{1} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (\frac{243}{5} - 0 - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (\frac{243}{5} + 0 - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.5

将 $\frac{243}{5}$ 和 $0$ 相加。

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.6

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.8

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.5.8.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.8.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.5.8.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.8.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.8.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.8.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - 0) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.9

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} + 0) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.10

将 $\frac{81}{4}$ 和 $0$ 相加。

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.11

组合 $- 4$ 和 $\frac{81}{4}$ 。

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{- 4 \cdot 81}{4} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.12

将 $- 4$ 乘以 $81$ 。

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{- 324}{4} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.13

约去 $- 324$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.5.13.1

从 $- 324$ 中分解出因数 $4$ 。

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{4 \cdot - 81}{4} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.13.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.5.13.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{4 \cdot - 81}{4 (1)} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.13.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{4 \cdot - 81}{4 \cdot 1} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.13.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.13.2.4

用 $- 81$ 除以 $1$ 。

$V = π (\frac{243}{5} - 81 - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.14

要将 $- 81$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{243}{5} - 81 \cdot \frac{5}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.15

组合 $- 81$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.16

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{243 - 81 \cdot 5}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.17

化简分子。

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解题步骤 14.2.5.17.1

将 $- 81$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{243 - 405}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.17.2

从 $243$ 中减去 $405$ 。

$V = π (\frac{- 162}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.18

将负号移到分数的前面。

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.19

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.20

约去 $27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.5.20.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.20.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.5.20.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.20.2.2

约去公因数。

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.20.2.3

重写表达式。

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.20.2.4

用 $9$ 除以 $1$ 。

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.21

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.22

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.5.22.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.22.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.5.22.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.22.2.2

约去公因数。

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.22.2.3

重写表达式。

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0}{1}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.22.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - 0) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.23

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 + 0) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.24

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 \cdot 9 + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.25

将 $- 3$ 乘以 $9$ 。

$V = π (- \frac{162}{5} - 27 + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.26

要将 $- 27$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (- \frac{162}{5} - 27 \cdot \frac{5}{5} + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.27

组合 $- 27$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (- \frac{162}{5} + \frac{- 27 \cdot 5}{5} + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.28

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{- 162 - 27 \cdot 5}{5} + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.29

化简分子。

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解题步骤 14.2.5.29.1

将 $- 27$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{- 162 - 135}{5} + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.29.2

从 $- 162$ 中减去 $135$ 。

$V = π (\frac{- 297}{5} + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.30

将负号移到分数的前面。

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.31

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

解题步骤 14.2.5.32

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}))$

解题步骤 14.2.5.33

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.5.33.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}))$

解题步骤 14.2.5.33.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.5.33.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

解题步骤 14.2.5.33.2.2

约去公因数。

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

解题步骤 14.2.5.33.2.3

重写表达式。

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}))$

解题步骤 14.2.5.33.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - 0))$

解题步骤 14.2.5.34

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} + 0))$

解题步骤 14.2.5.35

将 $\frac{9}{2}$ 和 $0$ 相加。

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2}))$

解题步骤 14.2.5.36

组合 $18$ 和 $\frac{9}{2}$ 。

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{18 \cdot 9}{2})$

解题步骤 14.2.5.37

将 $18$ 乘以 $9$ 。

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{162}{2})$

解题步骤 14.2.5.38

约去 $162$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.5.38.1

从 $162$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{2 \cdot 81}{2})$

解题步骤 14.2.5.38.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.5.38.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{2 \cdot 81}{2 (1)})$

解题步骤 14.2.5.38.2.2

约去公因数。

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 1})$

解题步骤 14.2.5.38.2.3

重写表达式。

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{81}{1})$

解题步骤 14.2.5.38.2.4

用 $81$ 除以 $1$ 。

$V = π (- \frac{297}{5} + 81)$

解题步骤 14.2.5.39

要将 $81$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (- \frac{297}{5} + 81 \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 14.2.5.40

组合 $81$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{81 \cdot 5}{5})$

解题步骤 14.2.5.41

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{- 297 + 81 \cdot 5}{5})$

解题步骤 14.2.5.42

化简分子。

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解题步骤 14.2.5.42.1

将 $81$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{- 297 + 405}{5})$

解题步骤 14.2.5.42.2

将 $- 297$ 和 $405$ 相加。

$V = π (\frac{108}{5})$

解题步骤 14.2.5.43

组合 $π$ 和 $\frac{108}{5}$ 。

$V = \frac{π \cdot 108}{5}$

解题步骤 14.2.5.44

将 $108$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = \frac{108 π}{5}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{108 π}{5}$

小数形式：

$V = 67.85840131 \dots$

解题步骤 16

微积分学 示例

微积分学示例