微积分学示例

$y = x + 1$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 7$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = x + 1$ 时， $V = π \int_{0}^{7} {(f (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简被积函数。

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解题步骤 2.1

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$V = (x + 1) (x + 1)$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$V = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$V = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$V = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$V = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$V = x^{2} + x + x + 1$

解题步骤 2.3.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$V = x^{2} + 2 x + 1$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{0}^{7} x^{2} d x + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 \int_{0}^{7} x d x + \int_{0}^{7} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + x]_{0}^{7})$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7}$ 和 $x]_{0}^{7}$ 。

$V = π (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

解题步骤 10.2

代入并化简。

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解题步骤 10.2.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $7$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

解题步骤 10.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3} + x$ 在 $7$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3

化简。

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解题步骤 10.2.3.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.3

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.3.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.3.2.2

约去公因数。

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.3.2.3

重写表达式。

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (2 (\frac{49}{2} - 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (2 (\frac{49}{2} + 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.5

将 $\frac{49}{2}$ 和 $0$ 相加。

$V = π (2 (\frac{49}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.6

组合 $2$ 和 $\frac{49}{2}$ 。

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.7

将 $2$ 乘以 $49$ 。

$V = π (\frac{98}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.8

约去 $98$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.8.1

从 $98$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.3.8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 (1)} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.8.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 \cdot 1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.8.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{49}{1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.8.2.4

用 $49$ 除以 $1$ 。

$V = π (49 + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.9

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.10

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.11

组合 $7$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (49 + \frac{343}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.12

在公分母上合并分子。

$V = π (49 + \frac{343 + 7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.13

化简分子。

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解题步骤 10.2.3.13.1

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$V = π (49 + \frac{343 + 21}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.13.2

将 $343$ 和 $21$ 相加。

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.14

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.15

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.15.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 (0)}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.15.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.3.15.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

解题步骤 10.2.3.15.2.2

约去公因数。

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

解题步骤 10.2.3.15.2.3

重写表达式。

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{1} + 0))$

解题步骤 10.2.3.15.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (0 + 0))$

解题步骤 10.2.3.16

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$V = π (49 + \frac{364}{3} - 0)$

解题步骤 10.2.3.17

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (49 + \frac{364}{3} + 0)$

解题步骤 10.2.3.18

将 $\frac{364}{3}$ 和 $0$ 相加。

$V = π (49 + \frac{364}{3})$

解题步骤 10.2.3.19

要将 $49$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (49 \cdot \frac{3}{3} + \frac{364}{3})$

解题步骤 10.2.3.20

组合 $49$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (\frac{49 \cdot 3}{3} + \frac{364}{3})$

解题步骤 10.2.3.21

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{49 \cdot 3 + 364}{3})$

解题步骤 10.2.3.22

化简分子。

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解题步骤 10.2.3.22.1

将 $49$ 乘以 $3$ 。

$V = π (\frac{147 + 364}{3})$

解题步骤 10.2.3.22.2

将 $147$ 和 $364$ 相加。

$V = π (\frac{511}{3})$

解题步骤 10.2.3.23

组合 $π$ 和 $\frac{511}{3}$ 。

$V = \frac{π \cdot 511}{3}$

解题步骤 10.2.3.24

将 $511$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = \frac{511 π}{3}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{511 π}{3}$

小数形式：

$V = 535.11794866 \dots$

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例