微积分学示例

$y = 4 - \frac{1}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = - \frac{x}{2} + 4$ 时， $V = π \int_{1}^{2} {(f (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简被积函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 ${(- \frac{x}{2} + 4)}^{2}$ 重写为 $(- \frac{x}{2} + 4) (- \frac{x}{2} + 4)$ 。

$V = (- \frac{x}{2} + 4) (- \frac{x}{2} + 4)$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(- \frac{x}{2} + 4) (- \frac{x}{2} + 4)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2} + 4) + 4 (- \frac{x}{2} + 4)$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2} + 4)$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

乘以 $- \frac{x}{2} (- \frac{x}{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = 1 (\frac{x}{2}) \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.1.2

将 $\frac{x}{2}$ 乘以 $1$ 。

$V = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.1.3

将 $\frac{x}{2}$ 乘以 $\frac{x}{2}$ 。

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$V = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.1.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$V = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.2.1

将 $- \frac{x}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.2.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot (2 (2)) + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.2.3

约去公因数。

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.2.4

重写表达式。

$V = \frac{x^{2}}{4} - x \cdot 2 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.4.1

将 $- \frac{x}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 4 (\frac{- x}{2}) + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.4.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 2 (2) (\frac{- x}{2}) + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.4.3

约去公因数。

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 2 \cdot (2 (\frac{- x}{2})) + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.4.4

重写表达式。

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 2 (- x) + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2 x + 4 \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2 x + 16$

解题步骤 2.3.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$V = \frac{x^{2}}{4} - 4 x + 16$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

解题步骤 6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}$ 。

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

解题步骤 7

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 16 d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 16 d x)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + 16 x]_{1}^{2})$

解题步骤 11

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$V = π (\frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + 16 x]_{1}^{2})$

解题步骤 11.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$V = π (\frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 x]_{1}^{2})$

解题步骤 11.3

计算 $16 x$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$V = π (\frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (\frac{\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.2

一的任意次幂都为一。

$V = π (\frac{\frac{8}{3} - \frac{1}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.3

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{\frac{8 - 1}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.4

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$V = π (\frac{\frac{7}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.5

将 $\frac{\frac{7}{3}}{4}$ 重写为乘积形式。

$V = π (\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.6

将 $\frac{7}{3}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$V = π (\frac{7}{3 \cdot 4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.7

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$V = π (\frac{7}{12} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.9

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.9.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.9.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.9.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.9.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.9.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (2 - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.10

一的任意次幂都为一。

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (2 - \frac{1}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.11

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.12

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.13

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{7}{12} - 4 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.14

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.14.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$V = π (\frac{7}{12} - 4 \frac{4 - 1}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.14.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{3}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.15

组合 $- 4$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 4 \cdot 3}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.16

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 12}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.17

约去 $- 12$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.17.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{2 \cdot - 6}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.17.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.17.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.17.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.17.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 6}{1} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.17.2.4

用 $- 6$ 除以 $1$ 。

$V = π (\frac{7}{12} - 6 + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.18

要将 $- 6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$V = π (\frac{7}{12} - 6 \cdot \frac{12}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.19

组合 $- 6$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 6 \cdot 12}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.20

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{7 - 6 \cdot 12}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.21

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.21.1

将 $- 6$ 乘以 $12$ 。

$V = π (\frac{7 - 72}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.21.2

从 $7$ 中减去 $72$ 。

$V = π (\frac{- 65}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.22

将负号移到分数的前面。

$V = π (- \frac{65}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.23

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$V = π (- \frac{65}{12} + 32 - 16 \cdot 1)$

解题步骤 11.4.24

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$V = π (- \frac{65}{12} + 32 - 16)$

解题步骤 11.4.25

从 $32$ 中减去 $16$ 。

$V = π (- \frac{65}{12} + 16)$

解题步骤 11.4.26

要将 $16$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$V = π (- \frac{65}{12} + 16 \cdot \frac{12}{12})$

解题步骤 11.4.27

组合 $16$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$V = π (- \frac{65}{12} + \frac{16 \cdot 12}{12})$

解题步骤 11.4.28

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{- 65 + 16 \cdot 12}{12})$

解题步骤 11.4.29

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.29.1

将 $16$ 乘以 $12$ 。

$V = π (\frac{- 65 + 192}{12})$

解题步骤 11.4.29.2

将 $- 65$ 和 $192$ 相加。

$V = π (\frac{127}{12})$

解题步骤 11.4.30

组合 $π$ 和 $\frac{127}{12}$ 。

$V = \frac{π \cdot 127}{12}$

解题步骤 11.4.31

将 $127$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = \frac{127 π}{12}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{127 π}{12}$

小数形式：

$V = 33.24852225 \dots$

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例