微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x)}{\sin (x^{3})}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x^{3})}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1

使用极限幂法则把 $\sin^{3} (x)$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} \sin (x^{3})}$

解题步骤 1.2.1.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x^{3})}$

解题步骤 1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x^{3})}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} \sin (x^{3})}$

解题步骤 1.2.3.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x^{3})}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x^{3})}$

解题步骤 1.3.1.2

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (0^{3})}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 1.3.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x)}{\sin (x^{3})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]}$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]}$

解题步骤 3.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]}$

解题步骤 3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]}$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.4.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.4.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x^{3}) (3 x^{2})}$

解题步骤 3.6

重新排序 $\cos (x^{3}) (3 x^{2})$ 的因式。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{3 x^{2} \cos (x^{3})}$

解题步骤 4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{3 x^{2} \cos (x^{3})}$

解题步骤 4.2

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{x^{2} \cos (x^{3})}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

解题步骤 5.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

解题步骤 5.1.2.2

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

解题步骤 5.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

解题步骤 5.1.2.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

解题步骤 5.1.2.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1.2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin^{2} (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

解题步骤 5.1.2.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin^{2} (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

解题步骤 5.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 5.1.2.6.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0^{2} \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

解题步骤 5.1.2.6.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

解题步骤 5.1.2.6.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

解题步骤 5.1.2.6.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x^{3})}$

解题步骤 5.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 5.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{3})}$

解题步骤 5.1.3.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{3})}$

解题步骤 5.1.3.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x^{3})}$

解题步骤 5.1.3.4

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

解题步骤 5.1.3.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1.3.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{2} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

解题步骤 5.1.3.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{2} \cdot \cos (0^{3})}$

解题步骤 5.1.3.6

化简答案。

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解题步骤 5.1.3.6.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0^{3})}$

解题步骤 5.1.3.6.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0)}$

解题步骤 5.1.3.6.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3.6.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.3.6.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{x^{2} \cos (x^{3})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin^{2} (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.4

通过指数相加将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

移动 $\sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.4.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 5.3.4.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{{\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.5

将 $- 1$ 移到 $\sin^{3} (x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.6

将 $- 1 \sin^{3} (x)$ 重写为 $- \sin^{3} (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 5.3.7.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.7.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.8

将 $2$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cdot \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.9

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.10

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.11

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.14

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{3})]}$

解题步骤 5.3.15

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x^{3})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x^{3})] + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 5.3.16

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 5.3.16.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 5.3.16.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 5.3.16.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{2} (- \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 5.3.17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{2} (- \sin (x^{3}) (3 x^{2})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 5.3.18

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{2} (- 3 \sin (x^{3}) x^{2}) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 5.3.19

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.19.1

移动 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{2} x^{2} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 5.3.19.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{2 + 2} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 5.3.19.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{4} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 5.3.20

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{x^{4} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) (2 x)}$

解题步骤 5.3.21

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6

运用洛必达法则。

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解题步骤 6.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 6.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 6.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{2 lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.4

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{2 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.7

使用极限幂法则把 $\sin^{3} (x)$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.8

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.9

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1.2.9.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cos^{2} (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.9.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) - \sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.9.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.10

化简答案。

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解题步骤 6.1.2.10.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.10.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{2 \cdot 1^{2} \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.10.1.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{2 \cdot 1 \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.10.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.10.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 0 - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.10.1.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.10.1.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 - 0^{3}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.10.1.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.10.1.8

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.2.10.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} - 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 6.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{- lim_{x \to 0} 3 x^{4} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.3.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{- 3 lim_{x \to 0} x^{4} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.3.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{- 3 lim_{x \to 0} x^{4} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.3.4

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.3.5

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.3.6

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.3.7

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 lim_{x \to 0} x \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.3.8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.1.3.9

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x^{3})}$

解题步骤 6.1.3.10

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

解题步骤 6.1.3.11

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1.3.11.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{- 3 \cdot 0^{4} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

解题步骤 6.1.3.11.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{- 3 \cdot 0^{4} \cdot \sin (0^{3}) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

解题步骤 6.1.3.11.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{- 3 \cdot 0^{4} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cdot 0 \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

解题步骤 6.1.3.11.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{- 3 \cdot 0^{4} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{3})}$

解题步骤 6.1.3.12

化简答案。

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解题步骤 6.1.3.12.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.3.12.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{3})}$

解题步骤 6.1.3.12.1.2

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{3})}$

解题步骤 6.1.3.12.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{3})}$

解题步骤 6.1.3.12.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{3})}$

解题步骤 6.1.3.12.1.5

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{3})}$

解题步骤 6.1.3.12.1.6

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (0^{3})}$

解题步骤 6.1.3.12.1.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (0)}$

解题步骤 6.1.3.12.1.8

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{0 + 0 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.3.12.1.9

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 6.1.3.12.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 6.1.3.12.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 6.1.3.13

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 6.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 6.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 6.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.2

根据加法法则， $2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos^{2} (x) \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos^{2} (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 6.3.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.3.4.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.3.5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.3.6

通过指数相加将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 6.3.3.6.1

将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 6.3.3.6.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.3.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{2 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.3.6.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.3.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.3.8

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.3.9

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.3.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.3.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]$ 。

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解题步骤 6.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 6.3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.4.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.4.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - (3 \sin^{2} (x) \cos (x))}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.4.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.5

化简。

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解题步骤 6.3.5.1

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) + 2 (- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.5.2

合并项。

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解题步骤 6.3.5.2.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) - 4 (\cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.5.2.2

重新排序 $- 4 \cos (x) \sin^{2} (x)$ 的因式。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.5.2.3

从 $- 4 \sin^{2} (x) \cos (x)$ 中减去 $3 \sin^{2} (x) \cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) - 7 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.5.3

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.6

根据加法法则， $- 3 x^{4} \sin (x^{3}) + 2 x \cos (x^{3})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3})] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3})] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \sin (x^{3})]$ 。

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解题步骤 6.3.7.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{4} \sin (x^{3})$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4} \sin (x^{3})]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 \frac{d}{d x} [x^{4} \sin (x^{3})] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.7.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \sin (x^{3})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x^{3})] + \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.7.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 6.3.7.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.7.3.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{4} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.7.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{4} (\cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.7.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{4} (\cos (x^{3}) (3 x^{2})) + \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.7.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{4} (\cos (x^{3}) (3 x^{2})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.7.6

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.7.6.1

移动 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{2} x^{4} (\cos (x^{3}) \cdot (3)) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.7.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{2 + 4} (\cos (x^{3}) \cdot (3)) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.7.6.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (\cos (x^{3}) \cdot (3)) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.7.7

将 $3$ 移到 $\cos (x^{3})$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [2 x \cos (x^{3})]$ 。

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解题步骤 6.3.8.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x \cos (x^{3})$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{3})]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{3})]}$

解题步骤 6.3.8.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (x^{3})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x^{3})] + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 6.3.8.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 6.3.8.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 6.3.8.3.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 6.3.8.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x (- \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 6.3.8.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x (- \sin (x^{3}) (3 x^{2})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 6.3.8.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x (- \sin (x^{3}) (3 x^{2})) + \cos (x^{3}) \cdot 1)}$

解题步骤 6.3.8.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x (- 3 \sin (x^{3}) x^{2}) + \cos (x^{3}) \cdot 1)}$

解题步骤 6.3.8.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x^{2} x^{1} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \cdot 1)}$

解题步骤 6.3.8.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x^{2 + 1} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \cdot 1)}$

解题步骤 6.3.8.9

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x^{3} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \cdot 1)}$

解题步骤 6.3.8.10

将 $\cos (x^{3})$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3})) + \sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x^{3} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}))}$

解题步骤 6.3.9

化简。

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解题步骤 6.3.9.1

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3}))) - 3 (\sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x^{3} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}))}$

解题步骤 6.3.9.2

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 3 (x^{6} (3 \cos (x^{3}))) - 3 (\sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x^{3} (- 3 \sin (x^{3}))) + 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.3.9.3

合并项。

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解题步骤 6.3.9.3.1

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 9 (x^{6} (\cos (x^{3}))) - 3 (\sin (x^{3}) (4 x^{3})) + 2 (x^{3} (- 3 \sin (x^{3}))) + 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.3.9.3.2

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 12 (\sin (x^{3}) (x^{3})) + 2 (x^{3} (- 3 \sin (x^{3}))) + 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.3.9.3.3

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 12 \sin (x^{3}) x^{3} - 6 (x^{3} (\sin (x^{3}))) + 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.3.9.3.4

从 $- 12 \sin (x^{3}) x^{3}$ 中减去 $6 x^{3} \sin (x^{3})$ 。

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解题步骤 6.3.9.3.4.1

移动 $\sin (x^{3})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 12 x^{3} \sin (x^{3}) - 6 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 6.3.9.3.4.2

从 $- 12 x^{3} \sin (x^{3})$ 中减去 $6 x^{3} \sin (x^{3})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} - 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- lim_{x \to 0} 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.3

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 7 lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{- 7 lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.5

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{- 7 {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.7

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.8

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.9

使用极限幂法则把 $\cos^{3} (x)$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.10

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 9 x^{6} \cos (x^{3}) - 18 x^{3} \sin (x^{3}) + 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.11

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 9 x^{6} \cos (x^{3}) - lim_{x \to 0} 18 x^{3} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.12

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x^{6} \cos (x^{3}) - lim_{x \to 0} 18 x^{3} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.13

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x^{6} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{3}) - lim_{x \to 0} 18 x^{3} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.14

使用极限幂法则把 $x^{6}$ 的指数 $6$ 移到极限外。

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{3}) - lim_{x \to 0} 18 x^{3} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.15

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x^{3}) - lim_{x \to 0} 18 x^{3} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.16

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - lim_{x \to 0} 18 x^{3} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.17

因为项 $18$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 lim_{x \to 0} x^{3} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.18

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

解题步骤 7.19

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.20

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.21

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.22

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x^{3})}$

解题步骤 7.23

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x^{3})}$

解题步骤 7.24

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

解题步骤 8

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

解题步骤 8.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

解题步骤 8.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

解题步骤 8.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

解题步骤 8.5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

解题步骤 8.6

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{3}) + 2 \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

解题步骤 8.7

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{3})}$

解题步骤 8.8

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{- 7 \cdot 0^{2} \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{- 7 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.1.3

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0 \cdot 1 + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.1.5

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 + 2 \cos^{3} (0)}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.1.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0 + 2 \cdot 1^{3}}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.1.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{0 + 2 \cdot 1}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.1.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 + 2}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.1.9

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2}{- 9 \cdot 0^{6} \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2}{- 9 \cdot 0 \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.2.2

将 $- 9$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2}{0 \cdot \cos (0^{3}) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2}{0 \cdot \cos (0) - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.2.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{2}{0 \cdot 1 - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.2.5

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{0 - 18 \cdot 0^{3} \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.2.6

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2}{0 - 18 \cdot 0 \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.2.7

将 $- 18$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2}{0 + 0 \cdot \sin (0^{3}) + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.2.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2}{0 + 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.2.9

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{2}{0 + 0 \cdot 0 + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.2.10

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2}{0 + 0 + 2 \cos (0^{3})}$

解题步骤 9.2.11

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2}{0 + 0 + 2 \cos (0)}$

解题步骤 9.2.12

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{2}{0 + 0 + 2 \cdot 1}$

解题步骤 9.2.13

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{0 + 0 + 2}$

解题步骤 9.2.14

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{0 + 2}$

解题步骤 9.2.15

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2}{2}$

解题步骤 9.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{2}$

解题步骤 9.3.2

重写表达式。

$1$

微积分学 示例

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