微积分学示例

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{3 t} + t^{2}}{2 e^{3 t} - t}$

解题步骤 1

分子分母同时除以分母中的增长最快速项。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{2 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

约去 $e^{3 t}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1

约去公因数。

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{2 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 2.1.2

重写表达式。

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{2 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 2.2

约去 $e^{3 t}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{2 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 2.2.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 2.3

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 2.4

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1 + \frac{lim_{t \to \infty} t^{2}}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 3.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{1 + \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 3.1.3

因为指数 $3 t$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{3 t}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 3.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{3 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = 3 t$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 t$ 。

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 3.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 3.3.4

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \cdot 3 \frac{d}{d t} [t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \cdot 3 \cdot 1}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 3.3.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \cdot 3}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 3.3.7

将 $3$ 移到 $e^{3 t}$ 的左侧。

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{3 e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{2}{3}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 5.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 5.1.3

因为指数 $3 t$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{3 t}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 5.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 5.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 5.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = 3 t$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 t$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 5.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 5.3.3.3

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 5.3.4

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \frac{d}{d t} [t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 5.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \cdot 1}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 5.3.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 5.3.7

将 $3$ 移到 $e^{3 t}$ 的左侧。

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 6

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{e^{3 t}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 8

计算极限值。

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解题步骤 8.1

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 2 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 8.2

计算 $2$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}}}$

解题步骤 9

运用洛必达法则。

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解题步骤 9.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 9.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}$

解题步骤 9.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}$

解题步骤 9.1.3

因为指数 $3 t$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{3 t}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 9.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 9.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}$

解题步骤 9.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 9.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}$

解题步骤 9.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}$

解题步骤 9.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = 3 t$ 。

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解题步骤 9.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 t$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t]}}$

解题步骤 9.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t]}}$

解题步骤 9.3.3.3

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]}}$

解题步骤 9.3.4

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \frac{d}{d t} [t]}}$

解题步骤 9.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \cdot 1}}$

解题步骤 9.3.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3}}$

解题步骤 9.3.7

将 $3$ 移到 $e^{3 t}$ 的左侧。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 e^{3 t}}}$

解题步骤 10

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t}}}$

解题步骤 11

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{e^{3 t}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

化简分子。

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解题步骤 12.1.1

乘以 $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 12.1.1.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot 0}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

解题步骤 12.1.1.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1 + \frac{2}{9} \cdot 0}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

解题步骤 12.1.2

将 $\frac{2}{9}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1 + 0}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

解题步骤 12.1.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

解题步骤 12.2

化简分母。

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解题步骤 12.2.1

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot 0$ 。

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解题步骤 12.2.1.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2 + 0 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 12.2.1.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2 + 0}$

解题步骤 12.2.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2}$

微积分学 示例

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