微积分学示例

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 x}{lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

解题步骤 1.2

首项系数为正数的奇次多项式在无穷远处的极限为负无穷。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

解题步骤 1.3

对于根式，当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{- \infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

解题步骤 3.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

解题步骤 3.5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{16 x^{2} - 9 x}$ 重写成 ${(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 16 x^{2} - 9 x$ 。

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解题步骤 3.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $16 x^{2} - 9 x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

解题步骤 3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

解题步骤 3.6.3

使用 $16 x^{2} - 9 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

解题步骤 3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

解题步骤 3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

解题步骤 3.9

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

解题步骤 3.10

化简分子。

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解题步骤 3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

解题步骤 3.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

解题步骤 3.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

解题步骤 3.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{{(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

解题步骤 3.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

解题步骤 3.14

根据加法法则， $16 x^{2} - 9 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

解题步骤 3.15

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

解题步骤 3.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

解题步骤 3.17

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

解题步骤 3.18

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9 \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.19

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9 \cdot 1)}$

解题步骤 3.20

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9)}$

解题步骤 3.21

化简。

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解题步骤 3.21.1

重新排序 $\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9)$ 的因式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{(32 x - 9) \frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.21.2

将 $32 x - 9$ 乘以 $\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{32 x - 9}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to - \infty} 3 \frac{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}{32 x - 9}$

解题步骤 5

将 ${(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{16 x^{2} - 9 x}$ 。

$lim_{x \to - \infty} 3 \frac{2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

解题步骤 6

合并因数。

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解题步骤 6.1

组合 $3$ 和 $\frac{2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 (2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x})}{32 x - 9}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

解题步骤 7.2

从 $16 x^{2} - 9 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.2.1

从 $16 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 16 x - 9 x}}{32 x - 9}$

解题步骤 7.2.2

从 $- 9 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 16 x + x \cdot - 9}}{32 x - 9}$

解题步骤 7.2.3

从 $x (16 x) + x \cdot - 9$ 中分解出因数 $x$ 。

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (16 x - 9)}}{32 x - 9}$

解题步骤 8

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $- \sqrt{x^{2}} = x$ 。

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x^{2}}}}{\frac{32 x}{x} + \frac{- 9}{x}}$

解题步骤 9

化简每一项。

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x^{2}}}}{32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 10

约去公因数。

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解题步骤 10.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x \cdot x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 10.2

约去公因数。

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x \cdot x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 10.3

重写表达式。

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 11

计算极限值。

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解题步骤 11.1

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$6 \frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 11.2

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$6 \frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 11.3

将极限移入根号内。

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 12

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 13

计算极限值。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1.1

约去公因数。

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 13.1.1.2

用 $16$ 除以 $1$ 。

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 13.1.2

将负号移到分数的前面。

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 13.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1

约去公因数。

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 13.2.2

重写表达式。

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 13.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 13.4

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 13.5

计算 $16$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 13.6

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 14

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 15

计算极限值。

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解题步骤 15.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

解题步骤 15.2

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}$

解题步骤 15.3

计算 $32$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}$

解题步骤 15.4

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 16

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - 9 \cdot 0}$

解题步骤 17

化简答案。

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解题步骤 17.1

用 $16 - 9 \cdot 0$ 除以 $1$ 。

$6 \frac{- \sqrt{16 - 9 \cdot 0}}{32 - 9 \cdot 0}$

解题步骤 17.2

化简分子。

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解题步骤 17.2.1

将 $- 9$ 乘以 $0$ 。

$6 \frac{- \sqrt{16 + 0}}{32 - 9 \cdot 0}$

解题步骤 17.2.2

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$6 \frac{- \sqrt{16}}{32 - 9 \cdot 0}$

解题步骤 17.2.3

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$6 \frac{- \sqrt{4^{2}}}{32 - 9 \cdot 0}$

解题步骤 17.2.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32 - 9 \cdot 0}$

解题步骤 17.3

化简分母。

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解题步骤 17.3.1

将 $- 9$ 乘以 $0$ 。

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32 + 0}$

解题步骤 17.3.2

将 $32$ 和 $0$ 相加。

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32}$

解题步骤 17.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$6 (\frac{- 4}{32})$

解题步骤 17.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (3) \frac{- 4}{32}$

解题步骤 17.5.2

从 $32$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cdot 3 \frac{- 4}{2 \cdot 16}$

解题步骤 17.5.3

约去公因数。

$2 \cdot 3 \frac{- 4}{2 \cdot 16}$

解题步骤 17.5.4

重写表达式。

$3 (\frac{- 4}{16})$

解题步骤 17.6

组合 $3$ 和 $\frac{- 4}{16}$ 。

$\frac{3 \cdot - 4}{16}$

解题步骤 17.7

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 12}{16}$

解题步骤 17.8

约去 $- 12$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 17.8.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 3)}{16}$

解题步骤 17.8.2

约去公因数。

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解题步骤 17.8.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

解题步骤 17.8.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

解题步骤 17.8.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3}{4}$

解题步骤 17.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{4}$

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