微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{\ln (x)}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

解题步骤 1.2

因为指数 $3 x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{3 x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

解题步骤 1.3

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 3.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 3.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 3.6

将 $3$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 3.7

将 $3$ 乘以 $e^{3 x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 3.8

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} x$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to \infty} 3 \cdot lim_{x \to \infty} e^{3 x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

解题步骤 5.2

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$3 \cdot lim_{x \to \infty} e^{3 x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

解题步骤 6

因为指数 $3 x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{3 x}$ 趋于 $\infty$ 。

$3 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} x$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$3 \cdot \infty \cdot \infty$

解题步骤 7.2

化简答案。

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解题步骤 7.2.1

非零常数乘以无穷大结果为无穷大。

$\infty \cdot \infty$

解题步骤 7.2.2

无穷大乘以无穷大结果为无穷大。

$\infty$

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