微积分学示例

$f (x) = x^{3} {(2 x^{2} + x - 3)}^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = {(2 x^{2} + x - 3)}^{2}$ 。

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + x - 3)}^{2}] + {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 2 x^{2} + x - 3$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x^{2} + x - 3$ 。

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 3]) + {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 3]) + {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $2 x^{2} + x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{3} (2 (2 x^{2} + x - 3) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 3]) + {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

根据加法法则， $2 x^{2} + x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$x^{3} (2 (2 x^{2} + x - 3) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) + {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{3} (2 (2 x^{2} + x - 3) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) + {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{3} (2 (2 x^{2} + x - 3) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) + {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x^{3} (2 (2 x^{2} + x - 3) (4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) + {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{3} (2 (2 x^{2} + x - 3) (4 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 3])) + {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.6

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{3} (2 (2 x^{2} + x - 3) (4 x + 1 + 0)) + {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.7

将 $4 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$x^{3} (2 (2 x^{2} + x - 3) (4 x + 1)) + {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{3} (2 (2 x^{2} + x - 3) (4 x + 1)) + {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.3.9

将 $3$ 移到 ${(2 x^{2} + x - 3)}^{2}$ 的左侧。

$x^{3} (2 (2 x^{2} + x - 3) (4 x + 1)) + 3 \cdot {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} x^{2}$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

运用分配律。

$x^{3} ((2 (2 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot - 3) (4 x + 1)) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} x^{2}$

解题步骤 1.1.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x^{3} ((4 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 3) (4 x + 1)) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} x^{2}$

解题步骤 1.1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x^{3} ((4 x^{2} + 2 x - 6) (4 x + 1)) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} x^{2}$

解题步骤 1.1.4.4

从 $x^{3} ((4 x^{2} + 2 x - 6) (4 x + 1)) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.4.1

从 $x^{3} ((4 x^{2} + 2 x - 6) (4 x + 1))$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (x ((4 x^{2} + 2 x - 6) (4 x + 1))) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} x^{2}$

解题步骤 1.1.4.4.2

从 $3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (x ((4 x^{2} + 2 x - 6) (4 x + 1))) + x^{2} (3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.4.3

从 $x^{2} (x ((4 x^{2} + 2 x - 6) (4 x + 1))) + x^{2} (3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (x ((4 x^{2} + 2 x - 6) (4 x + 1)) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.5.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(4 x^{2} + 2 x - 6) (4 x + 1)$ 。

$x^{2} (x (4 x^{2} (4 x) + 4 x^{2} \cdot 1 + 2 x (4 x) + 2 x \cdot 1 - 6 (4 x) - 6 \cdot 1) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.5.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} (x (4 \cdot 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1 + 2 x (4 x) + 2 x \cdot 1 - 6 (4 x) - 6 \cdot 1) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.5.2.2.1

移动 $x$ 。

$x^{2} (x (4 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 2 x (4 x) + 2 x \cdot 1 - 6 (4 x) - 6 \cdot 1) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.2.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.5.2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} (x (4 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 2 x (4 x) + 2 x \cdot 1 - 6 (4 x) - 6 \cdot 1) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} (x (4 \cdot 4 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 2 x (4 x) + 2 x \cdot 1 - 6 (4 x) - 6 \cdot 1) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.2.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{2} (x (4 \cdot 4 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1 + 2 x (4 x) + 2 x \cdot 1 - 6 (4 x) - 6 \cdot 1) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.2.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$x^{2} (x (16 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1 + 2 x (4 x) + 2 x \cdot 1 - 6 (4 x) - 6 \cdot 1) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.2.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} (x (16 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x (4 x) + 2 x \cdot 1 - 6 (4 x) - 6 \cdot 1) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} (x (16 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot 4 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 6 (4 x) - 6 \cdot 1) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.2.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.5.2.6.1

移动 $x$ 。

$x^{2} (x (16 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot 4 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 6 (4 x) - 6 \cdot 1) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.2.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} (x (16 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot 4 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 6 (4 x) - 6 \cdot 1) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.2.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x^{2} (x (16 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 6 (4 x) - 6 \cdot 1) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.2.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} (x (16 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x^{2} + 2 x - 6 (4 x) - 6 \cdot 1) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.2.9

将 $4$ 乘以 $- 6$ 。

$x^{2} (x (16 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x^{2} + 2 x - 24 x - 6 \cdot 1) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.2.10

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} (x (16 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x^{2} + 2 x - 24 x - 6) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.3

将 $4 x^{2}$ 和 $8 x^{2}$ 相加。

$x^{2} (x (16 x^{3} + 12 x^{2} + 2 x - 24 x - 6) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.4

从 $2 x$ 中减去 $24 x$ 。

$x^{2} (x (16 x^{3} + 12 x^{2} - 22 x - 6) + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.5

运用分配律。

$x^{2} (x (16 x^{3}) + x (12 x^{2}) + x (- 22 x) + x \cdot - 6 + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.6

化简。

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解题步骤 1.1.4.5.6.1

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} (16 x \cdot x^{3} + x (12 x^{2}) + x (- 22 x) + x \cdot - 6 + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} (16 x \cdot x^{3} + 12 x \cdot x^{2} + x (- 22 x) + x \cdot - 6 + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.6.3

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} (16 x \cdot x^{3} + 12 x \cdot x^{2} - 22 x \cdot x + x \cdot - 6 + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.6.4

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} (16 x \cdot x^{3} + 12 x \cdot x^{2} - 22 x \cdot x - 6 \cdot x + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.7

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.5.7.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.1.4.5.7.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$x^{2} (16 (x^{3} x) + 12 x \cdot x^{2} - 22 x \cdot x - 6 \cdot x + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.7.1.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.5.7.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} (16 (x^{3} x^{1}) + 12 x \cdot x^{2} - 22 x \cdot x - 6 \cdot x + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} (16 x^{3 + 1} + 12 x \cdot x^{2} - 22 x \cdot x - 6 \cdot x + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.7.1.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x \cdot x^{2} - 22 x \cdot x - 6 \cdot x + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.7.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.5.7.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 (x^{2} x) - 22 x \cdot x - 6 \cdot x + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.7.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.5.7.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 (x^{2} x^{1}) - 22 x \cdot x - 6 \cdot x + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.7.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{2 + 1} - 22 x \cdot x - 6 \cdot x + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.7.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x \cdot x - 6 \cdot x + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.7.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.5.7.3.1

移动 $x$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 (x \cdot x) - 6 \cdot x + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.7.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 \cdot x + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 {(2 x^{2} + x - 3)}^{2})$

解题步骤 1.1.4.5.8

将 ${(2 x^{2} + x - 3)}^{2}$ 重写为 $(2 x^{2} + x - 3) (2 x^{2} + x - 3)$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 ((2 x^{2} + x - 3) (2 x^{2} + x - 3)))$

解题步骤 1.1.4.5.9

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 x^{2} + x - 3) (2 x^{2} + x - 3)$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 3 + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.5.10.1

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (2 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 3 + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.5.10.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (2 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 3 + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (2 \cdot 2 x^{2 + 2} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 3 + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (2 \cdot 2 x^{4} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 3 + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 3 + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.5.10.4.1

移动 $x$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.5.10.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 3 + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 3 + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10.5

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10.6

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.5.10.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 (x^{2} x) + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10.7.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.5.10.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 (x^{2} x^{1}) + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{2 + 1} + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10.7.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10.8

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + x^{2} + x \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10.9

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + x^{2} - 3 \cdot x - 3 (2 x^{2}) - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10.10

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + x^{2} - 3 x - 6 x^{2} - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 1.1.4.5.10.11

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + x^{2} - 3 x - 6 x^{2} - 3 x + 9))$

解题步骤 1.1.4.5.11

将 $2 x^{3}$ 和 $2 x^{3}$ 相加。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2} + x^{2} - 3 x - 6 x^{2} - 3 x + 9))$

解题步骤 1.1.4.5.12

将 $- 6 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 4 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x - 6 x^{2} - 3 x + 9))$

解题步骤 1.1.4.5.13

从 $- 5 x^{2}$ 中减去 $6 x^{2}$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 4 x^{3} - 11 x^{2} - 3 x - 3 x + 9))$

解题步骤 1.1.4.5.14

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4} + 4 x^{3} - 11 x^{2} - 6 x + 9))$

解题步骤 1.1.4.5.15

运用分配律。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 3 (4 x^{4}) + 3 (4 x^{3}) + 3 (- 11 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9)$

解题步骤 1.1.4.5.16

化简。

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解题步骤 1.1.4.5.16.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 12 x^{4} + 3 (4 x^{3}) + 3 (- 11 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9)$

解题步骤 1.1.4.5.16.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 12 x^{4} + 12 x^{3} + 3 (- 11 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9)$

解题步骤 1.1.4.5.16.3

将 $- 11$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 12 x^{4} + 12 x^{3} - 33 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9)$

解题步骤 1.1.4.5.16.4

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 12 x^{4} + 12 x^{3} - 33 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 9)$

解题步骤 1.1.4.5.16.5

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$x^{2} (16 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 12 x^{4} + 12 x^{3} - 33 x^{2} - 18 x + 27)$

解题步骤 1.1.4.6

将 $16 x^{4}$ 和 $12 x^{4}$ 相加。

$x^{2} (28 x^{4} + 12 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x + 12 x^{3} - 33 x^{2} - 18 x + 27)$

解题步骤 1.1.4.7

将 $12 x^{3}$ 和 $12 x^{3}$ 相加。

$x^{2} (28 x^{4} + 24 x^{3} - 22 x^{2} - 6 x - 33 x^{2} - 18 x + 27)$

解题步骤 1.1.4.8

从 $- 22 x^{2}$ 中减去 $33 x^{2}$ 。

$x^{2} (28 x^{4} + 24 x^{3} - 55 x^{2} - 6 x - 18 x + 27)$

解题步骤 1.1.4.9

从 $- 6 x$ 中减去 $18 x$ 。

$x^{2} (28 x^{4} + 24 x^{3} - 55 x^{2} - 24 x + 27)$

解题步骤 1.1.4.10

运用分配律。

$x^{2} (28 x^{4}) + x^{2} (24 x^{3}) + x^{2} (- 55 x^{2}) + x^{2} (- 24 x) + x^{2} \cdot 27$

解题步骤 1.1.4.11

化简。

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解题步骤 1.1.4.11.1

使用乘法的交换性质重写。

$28 x^{2} x^{4} + x^{2} (24 x^{3}) + x^{2} (- 55 x^{2}) + x^{2} (- 24 x) + x^{2} \cdot 27$

解题步骤 1.1.4.11.2

使用乘法的交换性质重写。

$28 x^{2} x^{4} + 24 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 55 x^{2}) + x^{2} (- 24 x) + x^{2} \cdot 27$

解题步骤 1.1.4.11.3

使用乘法的交换性质重写。

$28 x^{2} x^{4} + 24 x^{2} x^{3} - 55 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 24 x) + x^{2} \cdot 27$

解题步骤 1.1.4.11.4

使用乘法的交换性质重写。

$28 x^{2} x^{4} + 24 x^{2} x^{3} - 55 x^{2} x^{2} - 24 x^{2} x + x^{2} \cdot 27$

解题步骤 1.1.4.11.5

将 $27$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$28 x^{2} x^{4} + 24 x^{2} x^{3} - 55 x^{2} x^{2} - 24 x^{2} x + 27 \cdot x^{2}$

解题步骤 1.1.4.12

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.12.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.1.4.12.1.1

移动 $x^{4}$ 。

$28 (x^{4} x^{2}) + 24 x^{2} x^{3} - 55 x^{2} x^{2} - 24 x^{2} x + 27 \cdot x^{2}$

解题步骤 1.1.4.12.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$28 x^{4 + 2} + 24 x^{2} x^{3} - 55 x^{2} x^{2} - 24 x^{2} x + 27 \cdot x^{2}$

解题步骤 1.1.4.12.1.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$28 x^{6} + 24 x^{2} x^{3} - 55 x^{2} x^{2} - 24 x^{2} x + 27 \cdot x^{2}$

解题步骤 1.1.4.12.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.1.4.12.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$28 x^{6} + 24 (x^{3} x^{2}) - 55 x^{2} x^{2} - 24 x^{2} x + 27 \cdot x^{2}$

解题步骤 1.1.4.12.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$28 x^{6} + 24 x^{3 + 2} - 55 x^{2} x^{2} - 24 x^{2} x + 27 \cdot x^{2}$

解题步骤 1.1.4.12.2.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$28 x^{6} + 24 x^{5} - 55 x^{2} x^{2} - 24 x^{2} x + 27 \cdot x^{2}$

解题步骤 1.1.4.12.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.12.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$28 x^{6} + 24 x^{5} - 55 (x^{2} x^{2}) - 24 x^{2} x + 27 \cdot x^{2}$

解题步骤 1.1.4.12.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$28 x^{6} + 24 x^{5} - 55 x^{2 + 2} - 24 x^{2} x + 27 \cdot x^{2}$

解题步骤 1.1.4.12.3.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$28 x^{6} + 24 x^{5} - 55 x^{4} - 24 x^{2} x + 27 \cdot x^{2}$

解题步骤 1.1.4.12.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.12.4.1

移动 $x$ 。

$28 x^{6} + 24 x^{5} - 55 x^{4} - 24 (x \cdot x^{2}) + 27 \cdot x^{2}$

解题步骤 1.1.4.12.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.12.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$28 x^{6} + 24 x^{5} - 55 x^{4} - 24 (x^{1} x^{2}) + 27 \cdot x^{2}$

解题步骤 1.1.4.12.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$28 x^{6} + 24 x^{5} - 55 x^{4} - 24 x^{1 + 2} + 27 \cdot x^{2}$

解题步骤 1.1.4.12.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = 28 x^{6} + 24 x^{5} - 55 x^{4} - 24 x^{3} + 27 \cdot x^{2}$

$f' (x) = 28 x^{6} + 24 x^{5} - 55 x^{4} - 24 x^{3} + 27 x^{2}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $28 x^{6} + 24 x^{5} - 55 x^{4} - 24 x^{3} + 27 x^{2}$ 。

$28 x^{6} + 24 x^{5} - 55 x^{4} - 24 x^{3} + 27 x^{2}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $28 x^{6} + 24 x^{5} - 55 x^{4} - 24 x^{3} + 27 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$28 x^{6} + 24 x^{5} - 55 x^{4} - 24 x^{3} + 27 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $28 x^{6} + 24 x^{5} - 55 x^{4} - 24 x^{3} + 27 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $28 x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (28 x^{4}) + 24 x^{5} - 55 x^{4} - 24 x^{3} + 27 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $24 x^{5}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (28 x^{4}) + x^{2} (24 x^{3}) - 55 x^{4} - 24 x^{3} + 27 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 55 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (28 x^{4}) + x^{2} (24 x^{3}) + x^{2} (- 55 x^{2}) - 24 x^{3} + 27 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $- 24 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (28 x^{4}) + x^{2} (24 x^{3}) + x^{2} (- 55 x^{2}) + x^{2} (- 24 x) + 27 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $27 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (28 x^{4}) + x^{2} (24 x^{3}) + x^{2} (- 55 x^{2}) + x^{2} (- 24 x) + x^{2} \cdot 27 = 0$

解题步骤 2.2.1.6

从 $x^{2} (28 x^{4}) + x^{2} (24 x^{3})$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (28 x^{4} + 24 x^{3}) + x^{2} (- 55 x^{2}) + x^{2} (- 24 x) + x^{2} \cdot 27 = 0$

解题步骤 2.2.1.7

从 $x^{2} (28 x^{4} + 24 x^{3}) + x^{2} (- 55 x^{2})$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (28 x^{4} + 24 x^{3} - 55 x^{2}) + x^{2} (- 24 x) + x^{2} \cdot 27 = 0$

解题步骤 2.2.1.8

从 $x^{2} (28 x^{4} + 24 x^{3} - 55 x^{2}) + x^{2} (- 24 x)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (28 x^{4} + 24 x^{3} - 55 x^{2} - 24 x) + x^{2} \cdot 27 = 0$

解题步骤 2.2.1.9

从 $x^{2} (28 x^{4} + 24 x^{3} - 55 x^{2} - 24 x) + x^{2} \cdot 27$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (28 x^{4} + 24 x^{3} - 55 x^{2} - 24 x + 27) = 0$

解题步骤 2.2.2

重新组合项。

$x^{2} (24 x^{3} - 24 x + 28 x^{4} - 55 x^{2} + 27) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $24 x^{3} - 24 x$ 中分解出因数 $24 x$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

从 $24 x^{3}$ 中分解出因数 $24 x$ 。

$x^{2} (24 x (x^{2}) - 24 x + 28 x^{4} - 55 x^{2} + 27) = 0$

解题步骤 2.2.3.2

从 $- 24 x$ 中分解出因数 $24 x$ 。

$x^{2} (24 x (x^{2}) + 24 x (- 1) + 28 x^{4} - 55 x^{2} + 27) = 0$

解题步骤 2.2.3.3

从 $24 x (x^{2}) + 24 x (- 1)$ 中分解出因数 $24 x$ 。

$x^{2} (24 x (x^{2} - 1) + 28 x^{4} - 55 x^{2} + 27) = 0$

解题步骤 2.2.4

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x^{2} (24 x (x^{2} - 1^{2}) + 28 x^{4} - 55 x^{2} + 27) = 0$

解题步骤 2.2.5

因数。

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解题步骤 2.2.5.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$x^{2} (24 x ((x + 1) (x - 1)) + 28 x^{4} - 55 x^{2} + 27) = 0$

解题步骤 2.2.5.2

去掉多余的括号。

$x^{2} (24 x (x + 1) (x - 1) + 28 x^{4} - 55 x^{2} + 27) = 0$

解题步骤 2.2.6

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x^{2} (24 x (x + 1) (x - 1) + 28 {(x^{2})}^{2} - 55 x^{2} + 27) = 0$

解题步骤 2.2.7

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x^{2} (24 x (x + 1) (x - 1) + 28 u^{2} - 55 u + 27) = 0$

解题步骤 2.2.8

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.8.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 28 \cdot 27 = 756$ 并且它们的和为 $b = - 55$ 。

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解题步骤 2.2.8.1.1

从 $- 55 u$ 中分解出因数 $- 55$ 。

$x^{2} (24 x (x + 1) (x - 1) + 28 u^{2} - 55 u + 27) = 0$

解题步骤 2.2.8.1.2

把 $- 55$ 重写为 $- 27$ 加 $- 28$

$x^{2} (24 x (x + 1) (x - 1) + 28 u^{2} + (- 27 - 28) u + 27) = 0$

解题步骤 2.2.8.1.3

运用分配律。

$x^{2} (24 x (x + 1) (x - 1) + 28 u^{2} - 27 u - 28 u + 27) = 0$

解题步骤 2.2.8.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.8.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$x^{2} (24 x (x + 1) (x - 1) + 28 u^{2} - 27 u - 28 u + 27) = 0$

解题步骤 2.2.8.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x^{2} (24 x (x + 1) (x - 1) + u (28 u - 27) - (28 u - 27)) = 0$

解题步骤 2.2.8.3

通过因式分解出最大公因数 $28 u - 27$ 来因式分解多项式。

$x^{2} (24 x (x + 1) (x - 1) + (28 u - 27) (u - 1)) = 0$

解题步骤 2.2.9

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (24 x (x + 1) (x - 1) + (28 x^{2} - 27) (x^{2} - 1)) = 0$

解题步骤 2.2.10

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x^{2} (24 x (x + 1) (x - 1) + (28 x^{2} - 27) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

解题步骤 2.2.11

因数。

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解题步骤 2.2.11.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$x^{2} (24 x (x + 1) (x - 1) + (28 x^{2} - 27) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

解题步骤 2.2.11.2

去掉多余的括号。

$x^{2} (24 x (x + 1) (x - 1) + (28 x^{2} - 27) (x + 1) (x - 1)) = 0$

解题步骤 2.2.12

从 $24 x (x + 1) (x - 1) + (28 x^{2} - 27) (x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.2.12.1

从 $24 x (x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$x^{2} ((x + 1) (x - 1) (24 x) + (28 x^{2} - 27) (x + 1) (x - 1)) = 0$

解题步骤 2.2.12.2

从 $(28 x^{2} - 27) (x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$x^{2} ((x + 1) (x - 1) (24 x) + (x + 1) (x - 1) (28 x^{2} - 27)) = 0$

解题步骤 2.2.12.3

从 $(x + 1) (x - 1) (24 x) + (x + 1) (x - 1) (28 x^{2} - 27)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$x^{2} ((x + 1) (x - 1) (24 x + 28 x^{2} - 27)) = 0$

解题步骤 2.2.13

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$x^{2} ((x + 1) (x - 1) (24 u + 28 u^{2} - 27)) = 0$

解题步骤 2.2.14

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.14.1

重新排序项。

$x^{2} ((x + 1) (x - 1) (28 u^{2} + 24 u - 27)) = 0$

解题步骤 2.2.14.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 28 \cdot - 27 = - 756$ 并且它们的和为 $b = 24$ 。

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解题步骤 2.2.14.2.1

从 $24 u$ 中分解出因数 $24$ 。

$x^{2} ((x + 1) (x - 1) (28 u^{2} + 24 (u) - 27)) = 0$

解题步骤 2.2.14.2.2

把 $24$ 重写为 $- 18$ 加 $42$

$x^{2} ((x + 1) (x - 1) (28 u^{2} + (- 18 + 42) u - 27)) = 0$

解题步骤 2.2.14.2.3

运用分配律。

$x^{2} ((x + 1) (x - 1) (28 u^{2} - 18 u + 42 u - 27)) = 0$

解题步骤 2.2.14.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.14.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$x^{2} ((x + 1) (x - 1) ((28 u^{2} - 18 u) + 42 u - 27)) = 0$

解题步骤 2.2.14.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x^{2} ((x + 1) (x - 1) (2 u (14 u - 9) + 3 (14 u - 9))) = 0$

解题步骤 2.2.14.4

通过因式分解出最大公因数 $14 u - 9$ 来因式分解多项式。

$x^{2} ((x + 1) (x - 1) ((14 u - 9) (2 u + 3))) = 0$

解题步骤 2.2.15

因数。

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解题步骤 2.2.15.1

因数。

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解题步骤 2.2.15.1.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} ((x + 1) (x - 1) ((14 x - 9) (2 x + 3))) = 0$

解题步骤 2.2.15.1.2

去掉多余的括号。

$x^{2} ((x + 1) (x - 1) (14 x - 9) (2 x + 3)) = 0$

解题步骤 2.2.15.2

去掉多余的括号。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) (14 x - 9) (2 x + 3) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$14 x - 9 = 0$

$2 x + 3 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.6

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.6.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.7

将 $14 x - 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.7.1

将 $14 x - 9$ 设为等于 $0$ 。

$14 x - 9 = 0$

解题步骤 2.7.2

求解 $x$ 的 $14 x - 9 = 0$ 。

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解题步骤 2.7.2.1

在等式两边都加上 $9$ 。

$14 x = 9$

解题步骤 2.7.2.2

将 $14 x = 9$ 中的每一项除以 $14$ 并化简。

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解题步骤 2.7.2.2.1

将 $14 x = 9$ 中的每一项都除以 $14$ 。

$\frac{14 x}{14} = \frac{9}{14}$

解题步骤 2.7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.7.2.2.2.1

约去 $14$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{14 x}{14} = \frac{9}{14}$

解题步骤 2.7.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{9}{14}$

解题步骤 2.8

将 $2 x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.8.1

将 $2 x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$2 x + 3 = 0$

解题步骤 2.8.2

求解 $x$ 的 $2 x + 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.8.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$2 x = - 3$

解题步骤 2.8.2.2

将 $2 x = - 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.8.2.2.1

将 $2 x = - 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 2.8.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.8.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 2.8.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 2.8.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.8.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3}{2}$

解题步骤 2.9

最终解为使 $x^{2} (x + 1) (x - 1) (14 x - 9) (2 x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 1, 1, \frac{9}{14}, - \frac{3}{2}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{3} {(2 x^{2} + x - 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{3} {(2 {(0)}^{2} + 0 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.1.1

去掉圆括号。

${(0)}^{3} {(2 {(0)}^{2} + 0 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 {(2 {(0)}^{2} + 0 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 {(2 \cdot 0 + 0 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0 {(0 + 0 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 {(0 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.3.2

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$0 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.3.3

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$0 \cdot 9$

解题步骤 4.1.2.3.4

将 $0$ 乘以 $9$ 。

$0$

解题步骤 4.2

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

${(- 1)}^{3} {(2 {(- 1)}^{2} - 1 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1.1

去掉圆括号。

${(- 1)}^{3} {(2 {(- 1)}^{2} - 1 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 {(2 {(- 1)}^{2} - 1 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.2.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1 {(2 \cdot 1 - 1 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 1 {(2 - 1 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.2.2.3

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.3.1

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$- 1 {(1 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.2.2.3.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$- 1 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 4.2.2.3.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1 \cdot 4$

解题步骤 4.2.2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4$

解题步骤 4.3

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

${(1)}^{3} {(2 {(1)}^{2} + 1 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.1.1

去掉圆括号。

${(1)}^{3} {(2 {(1)}^{2} + 1 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$1 {(2 {(1)}^{2} + 1 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 ${(2 {(1)}^{2} + 1 - 3)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${(2 {(1)}^{2} + 1 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.2.1

一的任意次幂都为一。

${(2 \cdot 1 + 1 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

${(2 + 1 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.3.1

将 $2$ 和 $1$ 相加。

${(3 - 3)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.3.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$0^{2}$

解题步骤 4.3.2.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.4

在 $x = \frac{9}{14}$ 处计算

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解题步骤 4.4.1

代入 $\frac{9}{14}$ 替换 $x$ 。

${(\frac{9}{14})}^{3} {(2 {(\frac{9}{14})}^{2} + \frac{9}{14} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.4.2

化简。

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解题步骤 4.4.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.4.2.1.1

去掉圆括号。

${(\frac{9}{14})}^{3} {(2 {(\frac{9}{14})}^{2} + \frac{9}{14} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.1.2

对 $\frac{9}{14}$ 运用乘积法则。

$\frac{9^{3}}{14^{3}} {(2 {(\frac{9}{14})}^{2} + \frac{9}{14} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.1.3

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{729}{14^{3}} {(2 {(\frac{9}{14})}^{2} + \frac{9}{14} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.1.4

对 $14$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{729}{2744} {(2 {(\frac{9}{14})}^{2} + \frac{9}{14} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.4.2.2.1

对 $\frac{9}{14}$ 运用乘积法则。

$\frac{729}{2744} {(2 \frac{9^{2}}{14^{2}} + \frac{9}{14} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.2.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{729}{2744} {(2 \frac{81}{14^{2}} + \frac{9}{14} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.2.3

对 $14$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{729}{2744} {(2 (\frac{81}{196}) + \frac{9}{14} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.2.4.1

从 $196$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{729}{2744} {(2 \frac{81}{2 (98)} + \frac{9}{14} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.2.4.2

约去公因数。

$\frac{729}{2744} {(2 \frac{81}{2 \cdot 98} + \frac{9}{14} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.2.4.3

重写表达式。

$\frac{729}{2744} {(\frac{81}{98} + \frac{9}{14} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.3

求公分母。

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解题步骤 4.4.2.3.1

将 $\frac{9}{14}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{729}{2744} {(\frac{81}{98} + \frac{9}{14} \cdot \frac{7}{7} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.3.2

将 $\frac{9}{14}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{729}{2744} {(\frac{81}{98} + \frac{9 \cdot 7}{14 \cdot 7} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.3.3

将 $- 3$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{729}{2744} {(\frac{81}{98} + \frac{9 \cdot 7}{14 \cdot 7} + \frac{- 3}{1})}^{2}$

解题步骤 4.4.2.3.4

将 $\frac{- 3}{1}$ 乘以 $\frac{98}{98}$ 。

$\frac{729}{2744} {(\frac{81}{98} + \frac{9 \cdot 7}{14 \cdot 7} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{98}{98})}^{2}$

解题步骤 4.4.2.3.5

将 $\frac{- 3}{1}$ 乘以 $\frac{98}{98}$ 。

$\frac{729}{2744} {(\frac{81}{98} + \frac{9 \cdot 7}{14 \cdot 7} + \frac{- 3 \cdot 98}{98})}^{2}$

解题步骤 4.4.2.3.6

重新排序 $14 \cdot 7$ 的因式。

$\frac{729}{2744} {(\frac{81}{98} + \frac{9 \cdot 7}{7 \cdot 14} + \frac{- 3 \cdot 98}{98})}^{2}$

解题步骤 4.4.2.3.7

将 $7$ 乘以 $14$ 。

$\frac{729}{2744} {(\frac{81}{98} + \frac{9 \cdot 7}{98} + \frac{- 3 \cdot 98}{98})}^{2}$

解题步骤 4.4.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{729}{2744} {(\frac{81 + 9 \cdot 7 - 3 \cdot 98}{98})}^{2}$

解题步骤 4.4.2.5

化简每一项。

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解题步骤 4.4.2.5.1

将 $9$ 乘以 $7$ 。

$\frac{729}{2744} {(\frac{81 + 63 - 3 \cdot 98}{98})}^{2}$

解题步骤 4.4.2.5.2

将 $- 3$ 乘以 $98$ 。

$\frac{729}{2744} {(\frac{81 + 63 - 294}{98})}^{2}$

解题步骤 4.4.2.6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.4.2.6.1

将 $81$ 和 $63$ 相加。

$\frac{729}{2744} {(\frac{144 - 294}{98})}^{2}$

解题步骤 4.4.2.6.2

从 $144$ 中减去 $294$ 。

$\frac{729}{2744} {(\frac{- 150}{98})}^{2}$

解题步骤 4.4.2.6.3

约去 $- 150$ 和 $98$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.6.3.1

从 $- 150$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{729}{2744} {(\frac{2 (- 75)}{98})}^{2}$

解题步骤 4.4.2.6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.2.6.3.2.1

从 $98$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{729}{2744} {(\frac{2 \cdot - 75}{2 \cdot 49})}^{2}$

解题步骤 4.4.2.6.3.2.2

约去公因数。

$\frac{729}{2744} {(\frac{2 \cdot - 75}{2 \cdot 49})}^{2}$

解题步骤 4.4.2.6.3.2.3

重写表达式。

$\frac{729}{2744} {(\frac{- 75}{49})}^{2}$

解题步骤 4.4.2.6.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{729}{2744} {(- \frac{75}{49})}^{2}$

解题步骤 4.4.2.7

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.4.2.7.1

对 $- \frac{75}{49}$ 运用乘积法则。

$\frac{729}{2744} ({(- 1)}^{2} {(\frac{75}{49})}^{2})$

解题步骤 4.4.2.7.2

对 $\frac{75}{49}$ 运用乘积法则。

$\frac{729}{2744} ({(- 1)}^{2} \frac{75^{2}}{49^{2}})$

解题步骤 4.4.2.8

化简表达式。

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解题步骤 4.4.2.8.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{729}{2744} (1 \frac{75^{2}}{49^{2}})$

解题步骤 4.4.2.8.2

将 $\frac{75^{2}}{49^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{729}{2744} \cdot \frac{75^{2}}{49^{2}}$

解题步骤 4.4.2.9

合并。

$\frac{729 \cdot 75^{2}}{2744 \cdot 49^{2}}$

解题步骤 4.4.2.10

化简表达式。

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解题步骤 4.4.2.10.1

对 $75$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{729 \cdot 5625}{2744 \cdot 49^{2}}$

解题步骤 4.4.2.10.2

对 $49$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{729 \cdot 5625}{2744 \cdot 2401}$

解题步骤 4.4.2.10.3

将 $729$ 乘以 $5625$ 。

$\frac{4100625}{2744 \cdot 2401}$

解题步骤 4.4.2.10.4

将 $2744$ 乘以 $2401$ 。

$\frac{4100625}{6588344}$

解题步骤 4.5

在 $x = - \frac{3}{2}$ 处计算

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解题步骤 4.5.1

代入 $- \frac{3}{2}$ 替换 $x$ 。

${(- \frac{3}{2})}^{3} {(2 {(- \frac{3}{2})}^{2} - \frac{3}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.5.2

化简。

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解题步骤 4.5.2.1

去掉圆括号。

${(- \frac{3}{2})}^{3} {(2 {(- \frac{3}{2})}^{2} - \frac{3}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.5.2.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.5.2.2.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3} {(2 {(- \frac{3}{2})}^{2} - \frac{3}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.5.2.2.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}} {(2 {(- \frac{3}{2})}^{2} - \frac{3}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.5.2.3

计算指数。

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解题步骤 4.5.2.3.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{3^{3}}{2^{3}} {(2 {(- \frac{3}{2})}^{2} - \frac{3}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.5.2.3.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{27}{2^{3}} {(2 {(- \frac{3}{2})}^{2} - \frac{3}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.5.2.3.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{27}{8} {(2 {(- \frac{3}{2})}^{2} - \frac{3}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.4.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.5.2.4.1.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{27}{8} {(2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - \frac{3}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.5.2.4.1.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{27}{8} {(2 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}) - \frac{3}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.5.2.4.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{27}{8} {(2 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) - \frac{3}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.5.2.4.3

将 $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{27}{8} {(2 \frac{3^{2}}{2^{2}} - \frac{3}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.5.2.4.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{27}{8} {(2 \frac{9}{2^{2}} - \frac{3}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.5.2.4.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{27}{8} {(2 (\frac{9}{4}) - \frac{3}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.5.2.4.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.4.6.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{27}{8} {(2 \frac{9}{2 (2)} - \frac{3}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.5.2.4.6.2

约去公因数。

$- \frac{27}{8} {(2 \frac{9}{2 \cdot 2} - \frac{3}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.5.2.4.6.3

重写表达式。

$- \frac{27}{8} {(\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3)}^{2}$

解题步骤 4.5.2.5

合并分数。

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解题步骤 4.5.2.5.1

在公分母上合并分子。

$- \frac{27}{8} {(- 3 + \frac{9 - 3}{2})}^{2}$

解题步骤 4.5.2.5.2

化简表达式。

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解题步骤 4.5.2.5.2.1

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{27}{8} {(- 3 + \frac{6}{2})}^{2}$

解题步骤 4.5.2.5.2.2

用 $6$ 除以 $2$ 。

$- \frac{27}{8} {(- 3 + 3)}^{2}$

解题步骤 4.5.2.5.2.3

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$- \frac{27}{8} \cdot 0^{2}$

解题步骤 4.5.2.5.2.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{27}{8} \cdot 0$

解题步骤 4.5.2.6

乘以 $- \frac{27}{8} \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.5.2.6.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 (\frac{27}{8})$

解题步骤 4.5.2.6.2

将 $0$ 乘以 $\frac{27}{8}$ 。

$0$

解题步骤 4.6

列出所有的点。

$(0, 0), (- 1, - 4), (1, 0), (\frac{9}{14}, \frac{4100625}{6588344}), (- \frac{3}{2}, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例