微积分学示例

$h (x) = \cos (\frac{3 x}{2})$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \frac{3 x}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{3 x}{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

解题步骤 1.1.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

解题步骤 1.1.1.3

使用 $\frac{3 x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.2.2

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $\sin (\frac{3 x}{2})$ 。

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

解题步骤 1.2

$h (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ 。

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$3 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

将 $3 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $3 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.3.1.2.1.2

用 $\sin (\frac{3 x}{2})$ 除以 $1$ 。

$\sin (\frac{3 x}{2}) = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$\sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

解题步骤 2.3.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$\frac{3 x}{2} = \arcsin (0)$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{3 x}{2} = 0$

解题步骤 2.3.4

将分子设为等于零。

$3 x = 0$

解题步骤 2.3.5

将 $3 x = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $3 x = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.3.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.5.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.3.5.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.3.5.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.5.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.3.6

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{3 x}{2} = π - 0$

解题步骤 2.3.7

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.7.1

等式两边同时乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

解题步骤 2.3.7.2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.3.7.2.1

化简左边。

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解题步骤 2.3.7.2.1.1

化简 $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ 。

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解题步骤 2.3.7.2.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

解题步骤 2.3.7.2.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

解题步骤 2.3.7.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.1.1.2.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

解题步骤 2.3.7.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

解题步骤 2.3.7.2.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{2}{3} (π - 0)$

解题步骤 2.3.7.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.7.2.2.1

化简 $\frac{2}{3} (π - 0)$ 。

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解题步骤 2.3.7.2.2.1.1

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = \frac{2}{3} π$

解题步骤 2.3.7.2.2.1.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $π$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 2.3.8

求 $\sin (\frac{3 x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 2.3.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.3.8.2

使用周期公式中的 $\frac{3}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

解题步骤 2.3.8.3

$\frac{3}{2}$ 约为 $1.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

解题步骤 2.3.8.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \frac{2}{3}$

解题步骤 2.3.8.5

乘以 $2 π \frac{2}{3}$ 。

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解题步骤 2.3.8.5.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

解题步骤 2.3.8.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{3} π$

解题步骤 2.3.8.5.3

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $π$ 。

$\frac{4 π}{3}$

解题步骤 2.3.9

$\sin (\frac{3 x}{2})$ 函数的周期为 $\frac{4 π}{3}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{4 π}{3}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{4 π n}{3}, \frac{2 π}{3} + \frac{4 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.4

合并答案。

$x = \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\cos (\frac{3 x}{2})$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\cos (\frac{3 (0)}{2})$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.1

从 $3 (0)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

解题步骤 4.1.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

解题步骤 4.1.2.1.2.2

约去公因数。

$\cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

解题步骤 4.1.2.1.2.3

重写表达式。

$\cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

解题步骤 4.1.2.1.2.4

用 $3 \cdot (0)$ 除以 $1$ 。

$\cos (3 \cdot (0))$

解题步骤 4.1.2.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\cos (0)$

解题步骤 4.1.2.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

解题步骤 4.2

在 $x = \frac{2 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $\frac{2 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$\cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{2 π}{3}$ 。

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

解题步骤 4.2.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

解题步骤 4.2.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{6 π}{3}$ 。

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解题步骤 4.2.2.3.1.1

从 $6 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

解题步骤 4.2.2.3.1.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

解题步骤 4.2.2.3.1.3

约去公因数。

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

解题步骤 4.2.2.3.1.4

重写表达式。

$\cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

解题步骤 4.2.2.3.2

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$\cos (\frac{2 π}{2})$

解题步骤 4.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.4.1

约去公因数。

$\cos (\frac{2 π}{2})$

解题步骤 4.2.2.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$\cos (π)$

解题步骤 4.2.2.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \cos (0)$

解题步骤 4.2.2.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(0 + \frac{4 π n}{3}, 1), (\frac{2 π}{3} + \frac{4 π n}{3}, - 1)$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

微积分学 示例

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