微积分学示例

$f (x) = 6 x^{5} + 4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x} - 10 e^{\frac{x}{2}} + 3^{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $6 x^{5} + 4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x} - 10 e^{\frac{x}{2}} + 3^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.2.3

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{3}})] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.3

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.4

要将 $\frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.5.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{3 \cdot 2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.5.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.6

在公分母上合并分子。

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3 + 2}{6}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.7

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.8

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{\frac{5}{6}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}]$ 。

$30 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{6}$ 。

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.11

组合 $- 1$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.12

在公分母上合并分子。

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.13

化简分子。

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解题步骤 1.3.13.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 6}{6}}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.13.2

从 $5$ 中减去 $6$ 。

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{\frac{- 1}{6}}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.14

将负号移到分数的前面。

$30 x^{4} + 4 (\frac{5}{6} x^{- \frac{1}{6}}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.15

组合 $\frac{5}{6}$ 和 $x^{- \frac{1}{6}}$ 。

$30 x^{4} + 4 \frac{5 x^{- \frac{1}{6}}}{6} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.16

组合 $4$ 和 $\frac{5 x^{- \frac{1}{6}}}{6}$ 。

$30 x^{4} + \frac{4 (5 x^{- \frac{1}{6}})}{6} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.17

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$30 x^{4} + \frac{20 x^{- \frac{1}{6}}}{6} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{6}}$ 移动到分母。

$30 x^{4} + \frac{20}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.19

从 $20$ 中分解出因数 $2$ 。

$30 x^{4} + \frac{2 (10)}{6 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.20

约去公因数。

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解题步骤 1.3.20.1

从 $6 x^{\frac{1}{6}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$30 x^{4} + \frac{2 (10)}{2 (3 x^{\frac{1}{6}})} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.20.2

约去公因数。

$30 x^{4} + \frac{2 \cdot 10}{2 (3 x^{\frac{1}{6}})} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.3.20.3

重写表达式。

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 10 e^{\frac{x}{2}}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 e^{\frac{x}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ 。

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.4.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.4.2.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.4.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.4.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 (e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.4.6

组合 $e^{\frac{x}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 10 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.4.7

组合 $- 10$ 和 $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 。

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{- 10 e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.4.8

约去 $- 10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.8.1

从 $- 10 e^{\frac{x}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{2 (- 5 e^{\frac{x}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.4.8.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{2 (- 5 e^{\frac{x}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.4.8.2.2

约去公因数。

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{2 (- 5 e^{\frac{x}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.4.8.2.3

重写表达式。

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} + \frac{- 5 e^{\frac{x}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.4.8.2.4

用 $- 5 e^{\frac{x}{2}}$ 除以 $1$ 。

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 5 e^{\frac{x}{2}} + \frac{d}{d x} [3^{x}]$

解题步骤 1.5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $3$ 。

$30 x^{4} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 5 e^{\frac{x}{2}} + 3^{x} \ln (3)$

解题步骤 1.6

重新排序项。

$f' (x) = 30 x^{4} + 3^{x} \ln (3) + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 5 e^{\frac{x}{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $30 x^{4} + 3^{x} \ln (3) + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}} - 5 e^{\frac{x}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $30 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$30 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 乘以 $30$ 。

$120 x^{3} + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [3^{x} \ln (3)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $\ln (3)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3^{x} \ln (3)$ 对 $x$ 的导数是 $\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ 。

$120 x^{3} + \ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $3$ 。

$120 x^{3} + \ln (3) (3^{x} \ln (3)) + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.3.3

对 $\ln (3)$ 进行 $1$ 次方运算。

$120 x^{3} + 3^{x} (\ln^{1} (3) \ln (3)) + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.3.4

对 $\ln (3)$ 进行 $1$ 次方运算。

$120 x^{3} + 3^{x} (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3)) + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$120 x^{3} + 3^{x} {\ln (3)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $\frac{10}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{6}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}]$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{6}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{6}}$ 。

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解题步骤 2.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{\frac{1}{6}}$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.3.3

使用 $x^{\frac{1}{6}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- {(x^{\frac{1}{6}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{6}$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- {(x^{\frac{1}{6}})}^{- 2} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.5

将 ${(x^{\frac{1}{6}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{6} \cdot - 2} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{2 (3)} \cdot - 2} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.5.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.5.2.3

约去公因数。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.5.2.4

重写表达式。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{\frac{- 1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.5.4

将负号移到分数的前面。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.8

在公分母上合并分子。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.9

化简分子。

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解题步骤 2.4.9.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{1 - 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.9.2

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{\frac{- 5}{6}})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.10

将负号移到分数的前面。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} x^{- \frac{5}{6}})) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.11

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{- \frac{5}{6}}$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- x^{- \frac{1}{3}} \frac{x^{- \frac{5}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.12

组合 $\frac{x^{- \frac{5}{6}}}{6}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6}} x^{- \frac{1}{3}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.13

通过指数相加将 $x^{- \frac{5}{6}}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.4.13.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6} - \frac{1}{3}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.13.2

要将 $- \frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.13.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 2.4.13.3.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.13.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{6} - \frac{2}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.13.4

在公分母上合并分子。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{\frac{- 5 - 2}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.13.5

从 $- 5$ 中减去 $2$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{\frac{- 7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.13.6

将负号移到分数的前面。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{x^{- \frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{7}{6}}$ 移动到分母。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) + \frac{10}{3} (- \frac{1}{6 x^{\frac{7}{6}}}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.15

将 $\frac{10}{3}$ 乘以 $\frac{1}{6 x^{\frac{7}{6}}}$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{10}{3 (6 x^{\frac{7}{6}})} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.16

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{10}{18 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.17

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{2 (5)}{18 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.18

约去公因数。

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解题步骤 2.4.18.1

从 $18 x^{\frac{7}{6}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{2 (5)}{2 (9 x^{\frac{7}{6}})} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.18.2

约去公因数。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{2 \cdot 5}{2 (9 x^{\frac{7}{6}})} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.4.18.3

重写表达式。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.5

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 e^{\frac{x}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.5.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 e^{\frac{x}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 2.5.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 2.5.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 2.5.2.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 2.5.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

解题步骤 2.5.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 (e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2})$

解题步骤 2.5.6

组合 $e^{\frac{x}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - 5 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

解题步骤 2.5.7

组合 $- 5$ 和 $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 。

$120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} + \frac{- 5 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

解题步骤 2.5.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $120 x^{3} + 3^{x} \ln^{2} (3) - \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{2} (3)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{2} (3)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [120 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $120$ 对于 $x$ 是常数，所以 $120 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $120 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$120 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{2} (3)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$120 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{2} (3)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.2.3

将 $3$ 乘以 $120$ 。

$360 x^{2} + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{2} (3)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{2} (3)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $\ln^{2} (3)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3^{x} \ln^{2} (3)$ 对 $x$ 的导数是 $\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ 。

$360 x^{2} + \ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $3$ 。

$360 x^{2} + \ln^{2} (3) (3^{x} \ln (3)) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.3.3

通过指数相加将 $\ln^{2} (3)$ 乘以 $\ln (3)$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

移动 $\ln (3)$ 。

$360 x^{2} + \ln (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.3.3.2

将 $\ln (3)$ 乘以 $\ln^{2} (3)$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.1

对 $\ln (3)$ 进行 $1$ 次方运算。

$360 x^{2} + \ln^{1} (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$360 x^{2} + {\ln (3)}^{1 + 2} \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.3.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- \frac{5}{9}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{5}{9 x^{\frac{7}{6}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{5}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}}]$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{7}{6}})}^{- 1}$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{7}{6}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{7}{6}}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{\frac{7}{6}}$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.3.3

使用 $x^{\frac{7}{6}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- {(x^{\frac{7}{6}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{7}{6}$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- {(x^{\frac{7}{6}})}^{- 2} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.5

将 ${(x^{\frac{7}{6}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{7}{6} \cdot - 2} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{7}{2 (3)} \cdot - 2} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.5.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{7}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.5.2.3

约去公因数。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{7}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.5.2.4

重写表达式。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{7}{3} \cdot - 1} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.5.3

组合 $\frac{7}{3}$ 和 $- 1$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{7 \cdot - 1}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.5.4

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{\frac{- 7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.5.5

将负号移到分数的前面。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.8

在公分母上合并分子。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7 - 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.9

化简分子。

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解题步骤 3.4.9.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{7 - 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.9.2

从 $7$ 中减去 $6$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} (\frac{7}{6} x^{\frac{1}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.10

组合 $\frac{7}{6}$ 和 $x^{\frac{1}{6}}$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- x^{- \frac{7}{3}} \frac{7 x^{\frac{1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.11

组合 $\frac{7 x^{\frac{1}{6}}}{6}$ 和 $x^{- \frac{7}{3}}$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{\frac{1}{6}} x^{- \frac{7}{3}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.12

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{6}}$ 乘以 $x^{- \frac{7}{3}}$ 。

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解题步骤 3.4.12.1

移动 $x^{- \frac{7}{3}}$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 (x^{- \frac{7}{3}} x^{\frac{1}{6}})}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{7}{3} + \frac{1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.12.3

要将 $- \frac{7}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.12.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 3.4.12.4.1

将 $\frac{7}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.12.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{7 \cdot 2}{6} + \frac{1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.12.5

在公分母上合并分子。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{\frac{- 7 \cdot 2 + 1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.12.6

化简分子。

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解题步骤 3.4.12.6.1

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{\frac{- 14 + 1}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.12.6.2

将 $- 14$ 和 $1$ 相加。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{\frac{- 13}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.12.7

将负号移到分数的前面。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7 x^{- \frac{13}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{13}{6}}$ 移动到分母。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} - \frac{5}{9} (- \frac{7}{6 x^{\frac{13}{6}}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.14

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + 1 (\frac{5}{9}) \frac{7}{6 x^{\frac{13}{6}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.15

将 $\frac{5}{9}$ 乘以 $1$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{5}{9} \cdot \frac{7}{6 x^{\frac{13}{6}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.16

将 $\frac{5}{9}$ 乘以 $\frac{7}{6 x^{\frac{13}{6}}}$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{5 \cdot 7}{9 (6 x^{\frac{13}{6}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.17

将 $5$ 乘以 $7$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{9 (6 x^{\frac{13}{6}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.4.18

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$

解题步骤 3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}]$ 。

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解题步骤 3.5.1

因为 $- \frac{5}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 3.5.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 3.5.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 3.5.2.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 3.5.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

解题步骤 3.5.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} (e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2})$

解题步骤 3.5.6

组合 $e^{\frac{x}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

解题步骤 3.5.7

将 $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{5}{2}$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot 5}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.5.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot 5}{4}$

解题步骤 3.5.9

将 $5$ 移到 $e^{\frac{x}{2}}$ 的左侧。

$360 x^{2} + \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}$

解题步骤 3.6

重新排序项。

$f''' (x) = 360 x^{2} + 3^{x} \ln^{3} (3) + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $360 x^{2} + 3^{x} \ln^{3} (3) + \frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{3} (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [360 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{3} (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [360 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $360$ 对于 $x$ 是常数，所以 $360 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $360 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$360 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{3} (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$360 (2 x) + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{3} (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.2.3

将 $2$ 乘以 $360$ 。

$720 x + \frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{3} (3)] + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [3^{x} \ln^{3} (3)]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $\ln^{3} (3)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3^{x} \ln^{3} (3)$ 对 $x$ 的导数是 $\ln^{3} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ 。

$720 x + \ln^{3} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $3$ 。

$720 x + \ln^{3} (3) (3^{x} \ln (3)) + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.3.3

通过指数相加将 $\ln^{3} (3)$ 乘以 $\ln (3)$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

移动 $\ln (3)$ 。

$720 x + \ln (3) \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.3.3.2

将 $\ln (3)$ 乘以 $\ln^{3} (3)$ 。

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解题步骤 4.3.3.2.1

对 $\ln (3)$ 进行 $1$ 次方运算。

$720 x + \ln^{1} (3) \ln^{3} (3) \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$720 x + {\ln (3)}^{1 + 3} \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.3.3.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}]$ 。

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解题步骤 4.4.1

因为 $\frac{35}{54}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{35}{54 x^{\frac{13}{6}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{35}{54} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{13}{6}}}]$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{13}{6}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{13}{6}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{13}{6}})}^{- 1}$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{13}{6}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{13}{6}}$ 。

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解题步骤 4.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{\frac{13}{6}}$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{13}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{13}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.3.3

使用 $x^{\frac{13}{6}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- {(x^{\frac{13}{6}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{13}{6}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{13}{6}$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- {(x^{\frac{13}{6}})}^{- 2} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.5

将 ${(x^{\frac{13}{6}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{13}{6} \cdot - 2} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{13}{2 (3)} \cdot - 2} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.5.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{13}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.5.2.3

约去公因数。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{13}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.5.2.4

重写表达式。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{13}{3} \cdot - 1} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.5.3

组合 $\frac{13}{3}$ 和 $- 1$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{13 \cdot - 1}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.5.4

将 $13$ 乘以 $- 1$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{\frac{- 13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.5.5

将负号移到分数的前面。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.8

在公分母上合并分子。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13 - 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.9

化简分子。

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解题步骤 4.4.9.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{13 - 6}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.9.2

从 $13$ 中减去 $6$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} (\frac{13}{6} x^{\frac{7}{6}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.10

组合 $\frac{13}{6}$ 和 $x^{\frac{7}{6}}$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- x^{- \frac{13}{3}} \frac{13 x^{\frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.11

组合 $\frac{13 x^{\frac{7}{6}}}{6}$ 和 $x^{- \frac{13}{3}}$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{\frac{7}{6}} x^{- \frac{13}{3}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.12

通过指数相加将 $x^{\frac{7}{6}}$ 乘以 $x^{- \frac{13}{3}}$ 。

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解题步骤 4.4.12.1

移动 $x^{- \frac{13}{3}}$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 (x^{- \frac{13}{3}} x^{\frac{7}{6}})}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{- \frac{13}{3} + \frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.12.3

要将 $- \frac{13}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{- \frac{13}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.12.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 4.4.12.4.1

将 $\frac{13}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{- \frac{13 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.12.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{- \frac{13 \cdot 2}{6} + \frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.12.5

在公分母上合并分子。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{\frac{- 13 \cdot 2 + 7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.12.6

化简分子。

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解题步骤 4.4.12.6.1

将 $- 13$ 乘以 $2$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{\frac{- 26 + 7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.12.6.2

将 $- 26$ 和 $7$ 相加。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{\frac{- 19}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.12.7

将负号移到分数的前面。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13 x^{- \frac{19}{6}}}{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{19}{6}}$ 移动到分母。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} + \frac{35}{54} (- \frac{13}{6 x^{\frac{19}{6}}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.14

将 $\frac{35}{54}$ 乘以 $\frac{13}{6 x^{\frac{19}{6}}}$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{35 \cdot 13}{54 (6 x^{\frac{19}{6}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.15

将 $35$ 乘以 $13$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{54 (6 x^{\frac{19}{6}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.4.16

将 $6$ 乘以 $54$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$

解题步骤 4.5

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}]$ 。

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解题步骤 4.5.1

因为 $- \frac{5}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$

解题步骤 4.5.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 4.5.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 4.5.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 4.5.2.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

解题步骤 4.5.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

解题步骤 4.5.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} (e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2})$

解题步骤 4.5.6

组合 $e^{\frac{x}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5}{4} \cdot \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

解题步骤 4.5.7

将 $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{5}{4}$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot 5}{2 \cdot 4}$

解题步骤 4.5.8

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot 5}{8}$

解题步骤 4.5.9

将 $5$ 移到 $e^{\frac{x}{2}}$ 的左侧。

$720 x + \ln^{4} (3) \cdot 3^{x} - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{8}$

解题步骤 4.6

重新排序项。

$f^{4} (x) = 3^{x} \ln^{4} (3) + 720 x - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{8}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $3^{x} \ln^{4} (3) + 720 x - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{8}$ 。

$3^{x} \ln^{4} (3) + 720 x - \frac{455}{324 x^{\frac{19}{6}}} - \frac{5 e^{\frac{x}{2}}}{8}$

微积分学 示例

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