微积分学示例

$f (x) = (2 x^{3} + 3 x) (x - 1) (x + 3)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = (2 x^{3} + 3 x) (x - 1)$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)]$

解题步骤 1.2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)]$

解题步骤 1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)]$

解题步骤 1.2.4.2

将 $2 x^{3} + 3 x$ 乘以 $1$ 。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)]$

解题步骤 1.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) ((2 x^{3} + 3 x) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

解题步骤 1.4

求微分。

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解题步骤 1.4.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) ((2 x^{3} + 3 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) ((2 x^{3} + 3 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

解题步骤 1.4.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) ((2 x^{3} + 3 x) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

解题步骤 1.4.4

化简表达式。

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解题步骤 1.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) ((2 x^{3} + 3 x) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

解题步骤 1.4.4.2

将 $2 x^{3} + 3 x$ 乘以 $1$ 。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

解题步骤 1.4.5

根据加法法则， $2 x^{3} + 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]))$

解题步骤 1.4.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]))$

解题步骤 1.4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x]))$

解题步骤 1.4.8

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x]))$

解题步骤 1.4.9

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.4.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3 \cdot 1))$

解题步骤 1.4.11

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3))$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

从 $(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3))$ 中分解出因数 $1$ 。

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解题步骤 1.5.1.1

从 $(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((2 x^{3} + 3 x) (x - 1)) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3))$

解题步骤 1.5.1.2

从 $(x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3))$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((2 x^{3} + 3 x) (x - 1)) + 1 ((x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)))$

解题步骤 1.5.1.3

从 $1 ((2 x^{3} + 3 x) (x - 1)) + 1 ((x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)))$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)))$

解题步骤 1.5.2

将 $(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3))$ 乘以 $1$ 。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3))$

解题步骤 1.5.3

重新排序项。

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)$ 。

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解题步骤 1.5.4.1.1

运用分配律。

$2 x^{3} (x - 1) + 3 x (x - 1) + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.1.2

运用分配律。

$2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot - 1 + 3 x (x - 1) + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.1.3

运用分配律。

$2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot - 1 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.2

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

移动 $x$ 。

$2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.5.4.2.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot - 1 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.2.1.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot - 1 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.4.2.3.1

移动 $x$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.2.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.2.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.3

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (6 x^{2} + 3)$ 。

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解题步骤 1.5.4.3.1.1

运用分配律。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + x (6 x^{2} + 3) - 1 (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.3.1.2

运用分配律。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + x (6 x^{2}) + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.3.1.3

运用分配律。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + x (6 x^{2}) + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.3.2

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.3.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.4.3.2.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 (x^{2} x) + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.3.2.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.4.3.2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.3.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 x^{2 + 1} + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.3.2.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 x^{3} + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.3.2.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 x^{3} + 3 \cdot x - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.3.2.4

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 1 \cdot 3) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.3.2.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 3) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.4

将 $2 x^{3}$ 和 $6 x^{3}$ 相加。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (8 x^{3} + 3 x + 3 x - 6 x^{2} - 3) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.5

将 $3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (8 x^{3} + 6 x - 6 x^{2} - 3) (x + 3)$

解题步骤 1.5.4.6

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(8 x^{3} + 6 x - 6 x^{2} - 3) (x + 3)$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{3} x + 8 x^{3} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

解题步骤 1.5.4.7

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.7.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.4.7.1.1

移动 $x$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 (x \cdot x^{3}) + 8 x^{3} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

解题步骤 1.5.4.7.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.5.4.7.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 (x^{1} x^{3}) + 8 x^{3} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

解题步骤 1.5.4.7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{1 + 3} + 8 x^{3} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

解题步骤 1.5.4.7.1.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 8 x^{3} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

解题步骤 1.5.4.7.2

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

解题步骤 1.5.4.7.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.4.7.3.1

移动 $x$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

解题步骤 1.5.4.7.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

解题步骤 1.5.4.7.4

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

解题步骤 1.5.4.7.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.4.7.5.1

移动 $x$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 (x \cdot x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

解题步骤 1.5.4.7.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.4.7.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 (x^{1} x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

解题步骤 1.5.4.7.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 x^{1 + 2} - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

解题步骤 1.5.4.7.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 x^{3} - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

解题步骤 1.5.4.7.6

将 $3$ 乘以 $- 6$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x - 3 \cdot 3$

解题步骤 1.5.4.7.7

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x - 9$

解题步骤 1.5.4.8

从 $24 x^{3}$ 中减去 $6 x^{3}$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 18 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 18 x^{2} - 3 x - 9$

解题步骤 1.5.4.9

从 $6 x^{2}$ 中减去 $18 x^{2}$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 18 x^{3} - 12 x^{2} + 18 x - 3 x - 9$

解题步骤 1.5.4.10

从 $18 x$ 中减去 $3 x$ 。

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 18 x^{3} - 12 x^{2} + 15 x - 9$

解题步骤 1.5.5

将 $2 x^{4}$ 和 $8 x^{4}$ 相加。

$10 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 18 x^{3} - 12 x^{2} + 15 x - 9$

解题步骤 1.5.6

将 $- 2 x^{3}$ 和 $18 x^{3}$ 相加。

$10 x^{4} + 16 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 12 x^{2} + 15 x - 9$

解题步骤 1.5.7

从 $3 x^{2}$ 中减去 $12 x^{2}$ 。

$10 x^{4} + 16 x^{3} - 9 x^{2} - 3 x + 15 x - 9$

解题步骤 1.5.8

将 $- 3 x$ 和 $15 x$ 相加。

$f' (x) = 10 x^{4} + 16 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 9$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $10 x^{4} + 16 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$\frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [10 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$10 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$10 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 乘以 $10$ 。

$40 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$40 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$40 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$40 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.4.3

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.5

计算 $\frac{d}{d x} [12 x]$ 。

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解题步骤 2.5.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.5.3

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12 + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.6

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.6.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12 + 0$

解题步骤 2.6.2

将 $40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$ 。

$\frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [40 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $40$ 对于 $x$ 是常数，所以 $40 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 3.2.3

将 $3$ 乘以 $40$ 。

$120 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $48 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$120 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$120 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 乘以 $48$ 。

$120 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$120 x^{2} + 96 x - 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$120 x^{2} + 96 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 3.4.3

将 $- 18$ 乘以 $1$ 。

$120 x^{2} + 96 x - 18 + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 3.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.5.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$120 x^{2} + 96 x - 18 + 0$

解题步骤 3.5.2

将 $120 x^{2} + 96 x - 18$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = 120 x^{2} + 96 x - 18$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $120 x^{2} + 96 x - 18$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ 。

$\frac{d}{d x} [120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [120 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $120$ 对于 $x$ 是常数，所以 $120 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $120 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$120 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$120 (2 x) + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 4.2.3

将 $2$ 乘以 $120$ 。

$240 x + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [96 x]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $96$ 对于 $x$ 是常数，所以 $96 x$ 对 $x$ 的导数是 $96 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$240 x + 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$240 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 4.3.3

将 $96$ 乘以 $1$ 。

$240 x + 96 + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 4.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.4.1

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$240 x + 96 + 0$

解题步骤 4.4.2

将 $240 x + 96$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = 240 x + 96$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $240 x + 96$ 。

$240 x + 96$

微积分学 示例

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