微积分学示例

$s (x) = {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \frac{3 x - 6}{2 x + 6}$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{3 x - 6}{2 x + 6}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 6}{2 x + 6}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 6}{2 x + 6}]$

解题步骤 1.1.3

使用 $\frac{3 x - 6}{2 x + 6}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 6}{2 x + 6}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x - 6$ 且 $g (x) = 2 x + 6$ 。

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) \frac{d}{d x} [3 x - 6] - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $3 x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) (3 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) (3 + 0) - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) \cdot 3 - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $3$ 移到 $2 x + 6$ 的左侧。

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 \cdot (2 x + 6) - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $2 x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - (3 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - (3 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - (3 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - (3 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [6])}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.11

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - (3 x - 6) (2 + 0)}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.12

合并分数。

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解题步骤 1.3.12.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - (3 x - 6) \cdot 2}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.12.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - 2 (3 x - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.3.12.3

组合 $\frac{3 (2 x + 6) - 2 (3 x - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}}$ 和 $3$ 。

$\frac{(3 (2 x + 6) - 2 (3 x - 6)) \cdot 3}{{(2 x + 6)}^{2}} {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2}$

解题步骤 1.3.12.4

将 $3$ 移到 $3 (2 x + 6) - 2 (3 x - 6)$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot (3 (2 x + 6) - 2 (3 x - 6))}{{(2 x + 6)}^{2}} {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

对 $\frac{3 x - 6}{2 x + 6}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 (3 (2 x + 6) - 2 (3 x - 6))}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.4.2

运用分配律。

$\frac{3 (3 (2 x) + 3 \cdot 6 - 2 (3 x - 6))}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3

运用分配律。

$\frac{3 (3 (2 x) + 3 \cdot 6 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4

运用分配律。

$\frac{3 (3 (2 x)) + 3 (3 \cdot 6) + 3 (- 2 (3 x)) + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5

合并项。

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解题步骤 1.4.5.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 (6 x) + 3 (3 \cdot 6) + 3 (- 2 (3 x)) + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{18 x + 3 (3 \cdot 6) + 3 (- 2 (3 x)) + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.3

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$\frac{18 x + 3 \cdot 18 + 3 (- 2 (3 x)) + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.4

将 $3$ 乘以 $18$ 。

$\frac{18 x + 54 + 3 (- 2 (3 x)) + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.5

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{18 x + 54 + 3 (- 6 x) + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.6

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{18 x + 54 - 18 x + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.7

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{18 x + 54 - 18 x + 3 \cdot 12}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.8

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$\frac{18 x + 54 - 18 x + 36}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.9

从 $18 x$ 中减去 $18 x$ 。

$\frac{0 + 54 + 36}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.10

将 $0$ 和 $54$ 相加。

$\frac{54 + 36}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.11

将 $54$ 和 $36$ 相加。

$\frac{90}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.12

将 $\frac{90}{{(2 x + 6)}^{2}}$ 乘以 $\frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$ 。

$\frac{90 {(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2} {(2 x + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.13

通过指数相加将 ${(2 x + 6)}^{2}$ 乘以 ${(2 x + 6)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.5.13.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{90 {(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2 + 2}}$

解题步骤 1.4.5.13.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{90 {(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

解题步骤 1.4.6

化简分子。

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解题步骤 1.4.6.1

从 $3 x - 6$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.4.6.1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{90 {(3 (x) - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

解题步骤 1.4.6.1.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{90 {(3 x + 3 \cdot - 2)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

解题步骤 1.4.6.1.3

从 $3 x + 3 \cdot - 2$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{90 {(3 (x - 2))}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

解题步骤 1.4.6.2

对 $3 (x - 2)$ 运用乘积法则。

$\frac{90 \cdot 3^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

解题步骤 1.4.6.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{90 \cdot 9 {(x - 2)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

解题步骤 1.4.6.4

将 $90$ 乘以 $9$ 。

$\frac{810 {(x - 2)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

解题步骤 1.4.7

化简分母。

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解题步骤 1.4.7.1

从 $2 x + 6$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.4.7.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{810 {(x - 2)}^{2}}{{(2 (x) + 6)}^{4}}$

解题步骤 1.4.7.1.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{810 {(x - 2)}^{2}}{{(2 x + 2 \cdot 3)}^{4}}$

解题步骤 1.4.7.1.3

从 $2 x + 2 \cdot 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{810 {(x - 2)}^{2}}{{(2 (x + 3))}^{4}}$

解题步骤 1.4.7.2

对 $2 (x + 3)$ 运用乘积法则。

$\frac{810 {(x - 2)}^{2}}{2^{4} {(x + 3)}^{4}}$

解题步骤 1.4.7.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{810 {(x - 2)}^{2}}{16 {(x + 3)}^{4}}$

解题步骤 1.4.8

约去 $810$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.8.1

从 $810 {(x - 2)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (405 {(x - 2)}^{2})}{16 {(x + 3)}^{4}}$

解题步骤 1.4.8.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.8.2.1

从 $16 {(x + 3)}^{4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (405 {(x - 2)}^{2})}{2 (8 {(x + 3)}^{4})}$

解题步骤 1.4.8.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (405 {(x - 2)}^{2})}{2 (8 {(x + 3)}^{4})}$

解题步骤 1.4.8.2.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{405 {(x - 2)}^{2}}{8 {(x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{405}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{405 {(x - 2)}^{2}}{8 {(x + 3)}^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{405}{8} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x + 3)}^{4}}]$ 。

$\frac{405}{8} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x + 3)}^{4}}]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {(x - 2)}^{2}$ 且 $g (x) = {(x + 3)}^{4}$ 。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{({(x + 3)}^{4})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 ${({(x + 3)}^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{4 \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x - 2$ 。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2]) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 2]) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.4.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

将 $2$ 移到 ${(x + 3)}^{4}$ 的左侧。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 \cdot {(x + 3)}^{4} (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2] - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.5.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.5.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) (1 + 0) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.5.5

化简表达式。

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解题步骤 2.5.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) \cdot 1 - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.5.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

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解题步骤 2.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + 3$ 。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - {(x - 2)}^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.6.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - {(x - 2)}^{2} (4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.7

求微分。

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解题步骤 2.7.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} ({(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.7.2

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} ({(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.7.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} ({(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.7.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} ({(x + 3)}^{3} (1 + 0))}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.7.5

合并分数。

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解题步骤 2.7.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} ({(x + 3)}^{3} \cdot 1)}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.7.5.2

将 ${(x + 3)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3}}{{(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.7.5.3

将 $\frac{405}{8}$ 乘以 $\frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3}}{{(x + 3)}^{8}}$ 。

$\frac{405 (2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3})}{8 {(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.8

化简。

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解题步骤 2.8.1

运用分配律。

$\frac{405 (2 {(x + 3)}^{4} (x - 2)) + 405 (- 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3})}{8 {(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.8.2

化简分子。

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解题步骤 2.8.2.1

从 $405 \cdot 2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) + 405 (- 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3})$ 中分解出因数 $405 {(x + 3)}^{3} (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.8.2.1.1

从 $405 \cdot 2 {(x + 3)}^{4} (x - 2)$ 中分解出因数 $405 {(x + 3)}^{3} (x - 2)$ 。

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3)) + 405 (- 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3})}{8 {(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.8.2.1.2

从 $405 (- 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3})$ 中分解出因数 $405 {(x + 3)}^{3} (x - 2)$ 。

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3)) + 405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- 4 (x - 2))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.8.2.1.3

从 $405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3)) + 405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- 4 (x - 2))$ 中分解出因数 $405 {(x + 3)}^{3} (x - 2)$ 。

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3) - 4 (x - 2))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.8.2.2

从 $2 (x + 3) - 4 (x - 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.8.2.2.1

从 $- 4 (x - 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3) + 2 (- 2 (x - 2)))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.8.2.2.2

从 $2 (x + 3) + 2 (- 2 (x - 2))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3 - 2 (x - 2)))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.8.2.3

运用分配律。

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3 - 2 x - 2 \cdot - 2))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.8.2.4

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3 - 2 x + 4))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.8.2.5

从 $x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (- x + 3 + 4))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.8.2.6

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) \cdot 2 (- x + 7)}{8 {(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.8.2.7

将 $2$ 乘以 $405$ 。

$\frac{810 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7)}{8 {(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.8.3

合并项。

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解题步骤 2.8.3.1

约去 $810$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.3.1.1

从 $810 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.8.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.8.3.1.2.1

从 $8 {(x + 3)}^{8}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7))}{2 (4 {(x + 3)}^{8})}$

解题步骤 2.8.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7))}{2 (4 {(x + 3)}^{8})}$

解题步骤 2.8.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7)}{4 {(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.8.3.2

约去 ${(x + 3)}^{3}$ 和 ${(x + 3)}^{8}$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.3.2.1

从 $405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7)$ 中分解出因数 ${(x + 3)}^{3}$ 。

$\frac{{(x + 3)}^{3} ((405 (x - 2)) (- x + 7))}{4 {(x + 3)}^{8}}$

解题步骤 2.8.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.8.3.2.2.1

从 $4 {(x + 3)}^{8}$ 中分解出因数 ${(x + 3)}^{3}$ 。

$\frac{{(x + 3)}^{3} ((405 (x - 2)) (- x + 7))}{{(x + 3)}^{3} (4 {(x + 3)}^{5})}$

解题步骤 2.8.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{{(x + 3)}^{3} ((405 (x - 2)) (- x + 7))}{{(x + 3)}^{3} (4 {(x + 3)}^{5})}$

解题步骤 2.8.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{(405 (x - 2)) (- x + 7)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

$\frac{405 (x - 2) (- x + 7)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

解题步骤 2.8.4

重新排序项。

$\frac{405 (- x + 7) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

解题步骤 2.8.5

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{405 (- (x) + 7) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

解题步骤 2.8.6

将 $7$ 重写为 $- 1 (- 7)$ 。

$\frac{405 (- (x) - 1 (- 7)) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

解题步骤 2.8.7

从 $- (x) - 1 (- 7)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{405 (- (x - 7)) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

解题步骤 2.8.8

将 $- (x - 7)$ 重写为 $- 1 (x - 7)$ 。

$\frac{405 (- 1 (x - 7)) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

解题步骤 2.8.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(405 (x - 7)) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

解题步骤 2.8.10

将 $- \frac{(405 (x - 7)) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = - \frac{405 (x - 7) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{405}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{405 (x - 7) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{405}{4} \frac{d}{d x} [\frac{(x - 7) (x - 2)}{{(x + 3)}^{5}}]$ 。

$- \frac{405}{4} \frac{d}{d x} [\frac{(x - 7) (x - 2)}{{(x + 3)}^{5}}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = (x - 7) (x - 2)$ 且 $g (x) = {(x + 3)}^{5}$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x - 2)] - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{({(x + 3)}^{5})}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 ${({(x + 3)}^{5})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x - 2)] - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{5 \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x - 2)] - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 7$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} ((x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} ((x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} ((x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.5.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} ((x - 7) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.5.4

化简表达式。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} ((x - 7) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.5.4.2

将 $x - 7$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (x - 7 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.5.5

根据加法法则， $x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (x - 7 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (x - 7 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.5.7

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (x - 7 + (x - 2) (1 + 0)) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.5.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.5.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (x - 7 + (x - 2) \cdot 1) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.5.8.2

将 $x - 2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (x - 7 + x - 2) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.5.8.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (2 x - 7 - 2) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.5.8.4

从 $- 7$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (2 x - 9) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

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解题步骤 3.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 3$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (2 x - 9) - (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (2 x - 9) - (x - 7) (x - 2) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.6.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (2 x - 9) - (x - 7) (x - 2) (5 {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.7.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) ({(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.7.2

从 ${(x + 3)}^{5} (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) ({(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3])$ 中分解出因数 ${(x + 3)}^{4}$ 。

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解题步骤 3.7.2.1

从 ${(x + 3)}^{5} (2 x - 9)$ 中分解出因数 ${(x + 3)}^{4}$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} ((x + 3) (2 x - 9)) - 5 (x - 7) (x - 2) ({(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.7.2.2

从 $- 5 (x - 7) (x - 2) ({(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3])$ 中分解出因数 ${(x + 3)}^{4}$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} ((x + 3) (2 x - 9)) + {(x + 3)}^{4} (- 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 3]))}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.7.2.3

从 ${(x + 3)}^{4} ((x + 3) (2 x - 9)) + {(x + 3)}^{4} (- 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 3]))$ 中分解出因数 ${(x + 3)}^{4}$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} ((x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 3]))}{{(x + 3)}^{10}}$

解题步骤 3.8

约去公因数。

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解题步骤 3.8.1

从 ${(x + 3)}^{10}$ 中分解出因数 ${(x + 3)}^{4}$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} ((x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 3]))}{{(x + 3)}^{4} {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.8.2

约去公因数。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} ((x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 3]))}{{(x + 3)}^{4} {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.8.3

重写表达式。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.9

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.11

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.12

合并分数。

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解题步骤 3.12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) \cdot 1}{{(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.12.2

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2)}{{(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.12.3

将 $\frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2)}{{(x + 3)}^{6}}$ 乘以 $\frac{405}{4}$ 。

$- \frac{((x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2)) \cdot 405}{{(x + 3)}^{6} \cdot 4}$

解题步骤 3.12.4

重新排序。

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解题步骤 3.12.4.1

将 $405$ 移到 $(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2)$ 的左侧。

$- \frac{405 \cdot ((x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2))}{{(x + 3)}^{6} \cdot 4}$

解题步骤 3.12.4.2

将 $4$ 移到 ${(x + 3)}^{6}$ 的左侧。

$- \frac{405 ((x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2))}{4 \cdot {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13

化简。

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解题步骤 3.13.1

运用分配律。

$- \frac{405 ((x + 3) (2 x - 9) + (- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.2

运用分配律。

$- \frac{405 ((x + 3) (2 x - 9)) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3

化简分子。

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解题步骤 3.13.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.13.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (2 x - 9)$ 。

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解题步骤 3.13.3.1.1.1

运用分配律。

$- \frac{405 (x (2 x - 9) + 3 (2 x - 9)) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.1.2

运用分配律。

$- \frac{405 (x (2 x) + x \cdot - 9 + 3 (2 x - 9)) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.1.3

运用分配律。

$- \frac{405 (x (2 x) + x \cdot - 9 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 9) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.13.3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.13.3.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{405 (2 x \cdot x + x \cdot - 9 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 9) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.13.3.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$- \frac{405 (2 (x \cdot x) + x \cdot - 9 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 9) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- \frac{405 (2 x^{2} + x \cdot - 9 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 9) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.1.3

将 $- 9$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{405 (2 x^{2} - 9 \cdot x + 3 (2 x) + 3 \cdot - 9) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.1.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{405 (2 x^{2} - 9 x + 6 x + 3 \cdot - 9) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.1.5

将 $3$ 乘以 $- 9$ 。

$- \frac{405 (2 x^{2} - 9 x + 6 x - 27) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.2.2

将 $- 9 x$ 和 $6 x$ 相加。

$- \frac{405 (2 x^{2} - 3 x - 27) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.3

运用分配律。

$- \frac{405 (2 x^{2}) + 405 (- 3 x) + 405 \cdot - 27 + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.4

化简。

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解题步骤 3.13.3.1.4.1

将 $2$ 乘以 $405$ 。

$- \frac{810 x^{2} + 405 (- 3 x) + 405 \cdot - 27 + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.4.2

将 $- 3$ 乘以 $405$ 。

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x + 405 \cdot - 27 + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.4.3

将 $405$ 乘以 $- 27$ 。

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.5

将 $- 5$ 乘以 $- 7$ 。

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 ((- 5 x + 35) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(- 5 x + 35) (x - 2)$ 。

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解题步骤 3.13.3.1.6.1

运用分配律。

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x (x - 2) + 35 (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.6.2

运用分配律。

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 2 + 35 (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.6.3

运用分配律。

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 2 + 35 x + 35 \cdot - 2)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.13.3.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.13.3.1.7.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.13.3.1.7.1.1.1

移动 $x$ 。

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 2 + 35 x + 35 \cdot - 2)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.7.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x^{2} - 5 x \cdot - 2 + 35 x + 35 \cdot - 2)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.7.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 5$ 。

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x^{2} + 10 x + 35 x + 35 \cdot - 2)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.7.1.3

将 $35$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x^{2} + 10 x + 35 x - 70)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.7.2

将 $10 x$ 和 $35 x$ 相加。

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x^{2} + 45 x - 70)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.8

运用分配律。

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x^{2}) + 405 (45 x) + 405 \cdot - 70}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.9

化简。

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解题步骤 3.13.3.1.9.1

将 $- 5$ 乘以 $405$ 。

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 - 2025 x^{2} + 405 (45 x) + 405 \cdot - 70}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.9.2

将 $45$ 乘以 $405$ 。

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 - 2025 x^{2} + 18225 x + 405 \cdot - 70}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.1.9.3

将 $405$ 乘以 $- 70$ 。

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 - 2025 x^{2} + 18225 x - 28350}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.2

从 $810 x^{2}$ 中减去 $2025 x^{2}$ 。

$- \frac{- 1215 x^{2} - 1215 x - 10935 + 18225 x - 28350}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.3

将 $- 1215 x$ 和 $18225 x$ 相加。

$- \frac{- 1215 x^{2} + 17010 x - 10935 - 28350}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.3.4

从 $- 10935$ 中减去 $28350$ 。

$- \frac{- 1215 x^{2} + 17010 x - 39285}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.4

从 $- 1215 x^{2} + 17010 x - 39285$ 中分解出因数 $405$ 。

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解题步骤 3.13.4.1

从 $- 1215 x^{2}$ 中分解出因数 $405$ 。

$- \frac{405 (- 3 x^{2}) + 17010 x - 39285}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.4.2

从 $17010 x$ 中分解出因数 $405$ 。

$- \frac{405 (- 3 x^{2}) + 405 (42 x) - 39285}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.4.3

从 $- 39285$ 中分解出因数 $405$ 。

$- \frac{405 (- 3 x^{2}) + 405 (42 x) + 405 (- 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.4.4

从 $405 (- 3 x^{2}) + 405 (42 x)$ 中分解出因数 $405$ 。

$- \frac{405 (- 3 x^{2} + 42 x) + 405 (- 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.4.5

从 $405 (- 3 x^{2} + 42 x) + 405 (- 97)$ 中分解出因数 $405$ 。

$- \frac{405 (- 3 x^{2} + 42 x - 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.5

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{405 (- (3 x^{2}) + 42 x - 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.6

从 $42 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{405 (- (3 x^{2}) - (- 42 x) - 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.7

从 $- (3 x^{2}) - (- 42 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{405 (- (3 x^{2} - 42 x) - 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.8

将 $- 97$ 重写为 $- 1 (97)$ 。

$- \frac{405 (- (3 x^{2} - 42 x) - 1 (97))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.9

从 $- (3 x^{2} - 42 x) - 1 (97)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{405 (- (3 x^{2} - 42 x + 97))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.10

将 $- (3 x^{2} - 42 x + 97)$ 重写为 $- 1 (3 x^{2} - 42 x + 97)$ 。

$- \frac{405 (- 1 (3 x^{2} - 42 x + 97))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.11

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{405 (3 x^{2} - 42 x + 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.12

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{405 (3 x^{2} - 42 x + 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 3.13.13

将 $\frac{405 (3 x^{2} - 42 x + 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = \frac{405 (3 x^{2} - 42 x + 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

解题步骤 4

$s (x)$ 对 $x$ 的三阶导数是 $\frac{405 (3 x^{2} - 42 x + 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$ 。

$\frac{405 (3 x^{2} - 42 x + 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

微积分学 示例

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