微积分学示例

$f (r) = r {(4 r + 9)}^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ 等于 $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ ，其中 $f (r) = r$ 且 $g (r) = {(4 r + 9)}^{3}$ 。

$r \frac{d}{d r} [{(4 r + 9)}^{3}] + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ 等于 $f' (g (r)) g' (r)$ ，其中 $f (r) = r^{3}$ 且 $g (r) = 4 r + 9$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 r + 9$ 。

$r (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d r} [4 r + 9]) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$r (3 u^{2} \frac{d}{d r} [4 r + 9]) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

解题步骤 1.2.3

使用 $4 r + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} \frac{d}{d r} [4 r + 9]) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $4 r + 9$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [4 r] + \frac{d}{d r} [9]$ 。

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (\frac{d}{d r} [4 r] + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

解题步骤 1.3.2

因为 $4$ 对于 $r$ 是常数，所以 $4 r$ 对 $r$ 的导数是 $4 \frac{d}{d r} [r]$ 。

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

解题步骤 1.3.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

解题步骤 1.3.5

因为 $9$ 对于 $r$ 是常数，所以 $9$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 + 0)) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

解题步骤 1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} \cdot 4) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

解题步骤 1.3.6.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3} \cdot 1$

解题步骤 1.3.8

将 ${(4 r + 9)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

从 $r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3}$ 中分解出因数 ${(4 r + 9)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.1.1

从 $r (12 {(4 r + 9)}^{2})$ 中分解出因数 ${(4 r + 9)}^{2}$ 。

${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12)) + {(4 r + 9)}^{3}$

解题步骤 1.4.1.2

从 ${(4 r + 9)}^{3}$ 中分解出因数 ${(4 r + 9)}^{2}$ 。

${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12)) + {(4 r + 9)}^{2} (4 r + 9)$

解题步骤 1.4.1.3

从 ${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12)) + {(4 r + 9)}^{2} (4 r + 9)$ 中分解出因数 ${(4 r + 9)}^{2}$ 。

${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12) + 4 r + 9)$

解题步骤 1.4.2

合并项。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $12$ 移到 $r$ 的左侧。

${(4 r + 9)}^{2} (12 \cdot r + 4 r + 9)$

解题步骤 1.4.2.2

将 $12 r$ 和 $4 r$ 相加。

$f' (r) = {(4 r + 9)}^{2} (16 r + 9)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

将 ${(4 r + 9)}^{2}$ 重写为 $(4 r + 9) (4 r + 9)$ 。

$\frac{d}{d r} [(4 r + 9) (4 r + 9) (16 r + 9)]$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(4 r + 9) (4 r + 9)$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d r} [(4 r (4 r + 9) + 9 (4 r + 9)) (16 r + 9)]$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d r} [(4 r (4 r) + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r + 9)) (16 r + 9)]$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d r} [(4 r (4 r) + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d r} [(4 \cdot 4 r \cdot r + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

解题步骤 2.3.1.2

通过指数相加将 $r$ 乘以 $r$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

移动 $r$ 。

$\frac{d}{d r} [(4 \cdot 4 (r \cdot r) + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $r$ 乘以 $r$ 。

$\frac{d}{d r} [(4 \cdot 4 r^{2} + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

解题步骤 2.3.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

解题步骤 2.3.1.4

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 36 r + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

解题步骤 2.3.1.5

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 36 r + 36 r + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

解题步骤 2.3.1.6

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 36 r + 36 r + 81) (16 r + 9)]$

解题步骤 2.3.2

将 $36 r$ 和 $36 r$ 相加。

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 r + 9)]$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ 等于 $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ ，其中 $f (r) = 16 r^{2} + 72 r + 81$ 且 $g (r) = 16 r + 9$ 。

$(16 r^{2} + 72 r + 81) \frac{d}{d r} [16 r + 9] + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $16 r + 9$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [16 r] + \frac{d}{d r} [9]$ 。

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (\frac{d}{d r} [16 r] + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

解题步骤 2.5.2

因为 $16$ 对于 $r$ 是常数，所以 $16 r$ 对 $r$ 的导数是 $16 \frac{d}{d r} [r]$ 。

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

解题步骤 2.5.4

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

解题步骤 2.5.5

因为 $9$ 对于 $r$ 是常数，所以 $9$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 + 0) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

解题步骤 2.5.6

化简表达式。

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解题步骤 2.5.6.1

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$(16 r^{2} + 72 r + 81) \cdot 16 + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

解题步骤 2.5.6.2

将 $16$ 移到 $16 r^{2} + 72 r + 81$ 的左侧。

$16 \cdot (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

解题步骤 2.5.7

根据加法法则， $16 r^{2} + 72 r + 81$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [16 r^{2}] + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81]$ 。

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (\frac{d}{d r} [16 r^{2}] + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

解题步骤 2.5.8

因为 $16$ 对于 $r$ 是常数，所以 $16 r^{2}$ 对 $r$ 的导数是 $16 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ 。

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (16 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

解题步骤 2.5.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (16 (2 r) + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

解题步骤 2.5.10

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

解题步骤 2.5.11

因为 $72$ 对于 $r$ 是常数，所以 $72 r$ 对 $r$ 的导数是 $72 \frac{d}{d r} [r]$ 。

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [81])$

解题步骤 2.5.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [81])$

解题步骤 2.5.13

将 $72$ 乘以 $1$ 。

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 + \frac{d}{d r} [81])$

解题步骤 2.5.14

因为 $81$ 对于 $r$ 是常数，所以 $81$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 + 0)$

解题步骤 2.5.15

将 $32 r + 72$ 和 $0$ 相加。

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72)$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + (16 r + 9) (32 r + 72)$

解题步骤 2.6.2

运用分配律。

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + (16 r + 9) (32 r) + (16 r + 9) \cdot 72$

解题步骤 2.6.3

运用分配律。

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + (16 r + 9) \cdot 72$

解题步骤 2.6.4

运用分配律。

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

解题步骤 2.6.5

合并项。

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解题步骤 2.6.5.1

将 $16$ 乘以 $16$ 。

$256 r^{2} + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

解题步骤 2.6.5.2

将 $72$ 乘以 $16$ 。

$256 r^{2} + 1152 r + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

解题步骤 2.6.5.3

将 $16$ 乘以 $81$ 。

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

解题步骤 2.6.5.4

将 $32$ 乘以 $16$ 。

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r \cdot r + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

解题步骤 2.6.5.5

对 $r$ 进行 $1$ 次方运算。

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 (r^{1} r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

解题步骤 2.6.5.6

对 $r$ 进行 $1$ 次方运算。

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 (r^{1} r^{1}) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

解题步骤 2.6.5.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{1 + 1} + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

解题步骤 2.6.5.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

解题步骤 2.6.5.9

将 $32$ 乘以 $9$ 。

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 288 r + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

解题步骤 2.6.5.10

将 $72$ 乘以 $16$ 。

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 288 r + 1152 r + 9 \cdot 72$

解题步骤 2.6.5.11

将 $9$ 乘以 $72$ 。

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 288 r + 1152 r + 648$

解题步骤 2.6.5.12

将 $288 r$ 和 $1152 r$ 相加。

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 1440 r + 648$

解题步骤 2.6.5.13

将 $256 r^{2}$ 和 $512 r^{2}$ 相加。

$768 r^{2} + 1152 r + 1296 + 1440 r + 648$

解题步骤 2.6.5.14

将 $1152 r$ 和 $1440 r$ 相加。

$768 r^{2} + 2592 r + 1296 + 648$

解题步骤 2.6.5.15

将 $1296$ 和 $648$ 相加。

$f'' (r) = 768 r^{2} + 2592 r + 1944$

解题步骤 3

$f (r)$ 对 $r$ 的二阶导数是 $768 r^{2} + 2592 r + 1944$ 。

$768 r^{2} + 2592 r + 1944$

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