微积分学示例

$y = - \sin (t) + \cos (t)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- \sin (t) + \cos (t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [- \sin (t)] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ 。

$\frac{d}{d t} [- \sin (t)] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d t} [- \sin (t)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \sin (t)$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ 。

$- \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

解题步骤 1.2.2

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$- \cos (t) + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

解题步骤 1.3

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$f' (t) = - \cos (t) - \sin (t)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- \cos (t) - \sin (t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [- \cos (t)] + \frac{d}{d t} [- \sin (t)]$ 。

$\frac{d}{d t} [- \cos (t)] + \frac{d}{d t} [- \sin (t)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \cos (t)$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ 。

$- \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \frac{d}{d t} [- \sin (t)]$

解题步骤 2.2.2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$- - \sin (t) + \frac{d}{d t} [- \sin (t)]$

解题步骤 2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \sin (t) + \frac{d}{d t} [- \sin (t)]$

解题步骤 2.2.4

将 $\sin (t)$ 乘以 $1$ 。

$\sin (t) + \frac{d}{d t} [- \sin (t)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d t} [- \sin (t)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \sin (t)$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ 。

$\sin (t) - \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

解题步骤 2.3.2

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$f'' (t) = \sin (t) - \cos (t)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\sin (t) - \cos (t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\sin (t)] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ 。

$\frac{d}{d t} [\sin (t)] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)]$

解题步骤 3.2

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$\cos (t) + \frac{d}{d t} [- \cos (t)]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \cos (t)$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ 。

$\cos (t) - \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

解题步骤 3.3.2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$\cos (t) - - \sin (t)$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (t) + 1 \sin (t)$

解题步骤 3.3.4

将 $\sin (t)$ 乘以 $1$ 。

$f''' (t) = \cos (t) + \sin (t)$

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