微积分学示例

$y = {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{5}{6}}$ 且 $g (x) = x^{9} + x$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{9} + x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{6}}] \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{6}$ 。

$\frac{5}{6} u^{\frac{5}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

解题步骤 1.1.3

使用 $x^{9} + x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

解题步骤 1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

解题步骤 1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

解题步骤 1.5

化简分子。

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解题步骤 1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{5 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

解题步骤 1.5.2

从 $5$ 中减去 $6$ 。

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{- 1}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

解题步骤 1.6

合并分数。

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解题步骤 1.6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{- \frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

解题步骤 1.6.2

组合 $\frac{5}{6}$ 和 ${(x^{9} + x)}^{- \frac{1}{6}}$ 。

$\frac{5 {(x^{9} + x)}^{- \frac{1}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

解题步骤 1.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{9} + x)}^{- \frac{1}{6}}$ 移动到分母。

$\frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

解题步骤 1.7

根据加法法则， $x^{9} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}} (\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$\frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}} (9 x^{8} + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}} (9 x^{8} + 1)$

解题步骤 1.10

化简。

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解题步骤 1.10.1

重新排序 $\frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}} (9 x^{8} + 1)$ 的因式。

$(9 x^{8} + 1) \frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}$

解题步骤 1.10.2

将 $9 x^{8} + 1$ 乘以 $\frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}$ 。

$\frac{(9 x^{8} + 1) \cdot 5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}$

解题步骤 1.10.3

将 $5$ 移到 $9 x^{8} + 1$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{5 (9 x^{8} + 1)}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{5}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5 (9 x^{8} + 1)}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{9 x^{8} + 1}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}]$ 。

$\frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{9 x^{8} + 1}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 9 x^{8} + 1$ 且 $g (x) = {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [9 x^{8} + 1] - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{({(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}})}^{2}}$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 ${({(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [9 x^{8} + 1] - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [9 x^{8} + 1] - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{2 (3)} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [9 x^{8} + 1] - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [9 x^{8} + 1] - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $9 x^{8} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{8}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} (\frac{d}{d x} [9 x^{8}] + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.3.3

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{8}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} (9 \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} (9 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.3.5

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} (72 x^{7} + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.3.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} (72 x^{7} + 0) - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.3.7

化简表达式。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $72 x^{7}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} (72 x^{7}) - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.3.7.2

将 $72$ 移到 ${(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}$ 的左侧。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 \cdot {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{6}}$ 且 $g (x) = x^{9} + x$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{9} + x$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{6}}] \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{6}$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} u^{\frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.4.3

使用 $x^{9} + x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.8

化简分子。

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解题步骤 2.8.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{1 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.8.2

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{- 5}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.9

合并分数。

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解题步骤 2.9.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{- \frac{5}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.9.2

组合 $\frac{1}{6}$ 和 ${(x^{9} + x)}^{- \frac{5}{6}}$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{{(x^{9} + x)}^{- \frac{5}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{9} + x)}^{- \frac{5}{6}}$ 移动到分母。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.10

根据加法法则， $x^{9} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} (\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [x]))}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} (9 x^{8} + \frac{d}{d x} [x]))}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} (9 x^{8} + 1))}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.13

对 $9 x^{8} + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - ({(9 x^{8} + 1)}^{1} (9 x^{8} + 1)) \frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.14

对 $9 x^{8} + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - ({(9 x^{8} + 1)}^{1} {(9 x^{8} + 1)}^{1}) \frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{1 + 1} \frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.16

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2} \frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.17

组合 $\frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}$ 和 ${(9 x^{8} + 1)}^{2}$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - \frac{{(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.18

要将 $72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} \cdot \frac{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} - \frac{{(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.19

组合 $72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7}$ 和 $\frac{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} (6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}})}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} - \frac{{(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.20

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} (6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}) - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.21

将 $6$ 乘以 $72$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.22

通过指数相加将 ${(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}$ 乘以 ${(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}$ 。

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解题步骤 2.22.1

移动 ${(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 ({(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}} {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.22.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6} + \frac{1}{6}} x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.22.3

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 {(x^{9} + x)}^{\frac{5 + 1}{6}} x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.22.4

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 {(x^{9} + x)}^{\frac{6}{6}} x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.22.5

用 $6$ 除以 $6$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 {(x^{9} + x)}^{1} x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.23

化简 $432 {(x^{9} + x)}^{1} x^{7}$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.24

将 $\frac{\frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{5}{6} (\frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} \cdot \frac{1}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}})$

解题步骤 2.25

将 $\frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}} {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.26

通过指数相加将 ${(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}$ 乘以 ${(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.26.1

移动 ${(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 ({(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}} {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}})}$

解题步骤 2.26.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{6}}}$

解题步骤 2.26.3

要将 $\frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{6}}}$

解题步骤 2.26.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 2.26.4.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{6}}}$

解题步骤 2.26.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{2}{6} + \frac{5}{6}}}$

解题步骤 2.26.5

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{2 + 5}{6}}}$

解题步骤 2.26.6

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.27

将 $\frac{5}{6}$ 乘以 $\frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$ 。

$\frac{5 (432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{6 (6 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}})}$

解题步骤 2.28

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{5 (432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29

化简。

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解题步骤 2.29.1

运用分配律。

$\frac{5 ((432 x^{9} + 432 x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.2

运用分配律。

$\frac{5 (432 x^{9} x^{7} + 432 x \cdot x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.3

运用分配律。

$\frac{5 (432 x^{9} x^{7}) + 5 (432 x \cdot x^{7}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4

化简分子。

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解题步骤 2.29.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.29.4.1.1

通过指数相加将 $x^{9}$ 乘以 $x^{7}$ 。

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解题步骤 2.29.4.1.1.1

移动 $x^{7}$ 。

$\frac{5 (432 (x^{7} x^{9})) + 5 (432 x \cdot x^{7}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5 (432 x^{7 + 9}) + 5 (432 x \cdot x^{7}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.1.3

将 $7$ 和 $9$ 相加。

$\frac{5 (432 x^{16}) + 5 (432 x \cdot x^{7}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.2

将 $432$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2160 x^{16} + 5 (432 x \cdot x^{7}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{7}$ 。

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解题步骤 2.29.4.1.3.1

移动 $x^{7}$ 。

$\frac{2160 x^{16} + 5 (432 (x^{7} x)) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.3.2

将 $x^{7}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.29.4.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2160 x^{16} + 5 (432 (x^{7} x^{1})) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2160 x^{16} + 5 (432 x^{7 + 1}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.3.3

将 $7$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2160 x^{16} + 5 (432 x^{8}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.4

将 $432$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.5

将 ${(9 x^{8} + 1)}^{2}$ 重写为 $(9 x^{8} + 1) (9 x^{8} + 1)$ 。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- ((9 x^{8} + 1) (9 x^{8} + 1)))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(9 x^{8} + 1) (9 x^{8} + 1)$ 。

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解题步骤 2.29.4.1.6.1

运用分配律。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 x^{8} (9 x^{8} + 1) + 1 (9 x^{8} + 1)))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.6.2

运用分配律。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 x^{8} (9 x^{8}) + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8} + 1)))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.6.3

运用分配律。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 x^{8} (9 x^{8}) + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.29.4.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.29.4.1.7.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 \cdot 9 x^{8} x^{8} + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.7.1.2

通过指数相加将 $x^{8}$ 乘以 $x^{8}$ 。

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解题步骤 2.29.4.1.7.1.2.1

移动 $x^{8}$ 。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 \cdot 9 (x^{8} x^{8}) + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 \cdot 9 x^{8 + 8} + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.7.1.2.3

将 $8$ 和 $8$ 相加。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 \cdot 9 x^{16} + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.7.1.3

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (81 x^{16} + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.7.1.4

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (81 x^{16} + 9 x^{8} + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.7.1.5

将 $9 x^{8}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (81 x^{16} + 9 x^{8} + 9 x^{8} + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.7.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (81 x^{16} + 9 x^{8} + 9 x^{8} + 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.7.2

将 $9 x^{8}$ 和 $9 x^{8}$ 相加。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (81 x^{16} + 18 x^{8} + 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.8

运用分配律。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (81 x^{16}) - (18 x^{8}) - 1 \cdot 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.9

化简。

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解题步骤 2.29.4.1.9.1

将 $81$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- 81 x^{16} - (18 x^{8}) - 1 \cdot 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.9.2

将 $18$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- 81 x^{16} - 18 x^{8} - 1 \cdot 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.9.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- 81 x^{16} - 18 x^{8} - 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.10

运用分配律。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- 81 x^{16}) + 5 (- 18 x^{8}) + 5 \cdot - 1}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.11

化简。

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解题步骤 2.29.4.1.11.1

将 $- 81$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} - 405 x^{16} + 5 (- 18 x^{8}) + 5 \cdot - 1}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.11.2

将 $- 18$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} - 405 x^{16} - 90 x^{8} + 5 \cdot - 1}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.1.11.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} - 405 x^{16} - 90 x^{8} - 5}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.2

从 $2160 x^{16}$ 中减去 $405 x^{16}$ 。

$\frac{1755 x^{16} + 2160 x^{8} - 90 x^{8} - 5}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.4.3

从 $2160 x^{8}$ 中减去 $90 x^{8}$ 。

$\frac{1755 x^{16} + 2070 x^{8} - 5}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.5

从 $1755 x^{16} + 2070 x^{8} - 5$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 2.29.5.1

从 $1755 x^{16}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (351 x^{16}) + 2070 x^{8} - 5}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.5.2

从 $2070 x^{8}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (351 x^{16}) + 5 (414 x^{8}) - 5}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.5.3

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (351 x^{16}) + 5 (414 x^{8}) + 5 (- 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.5.4

从 $5 (351 x^{16}) + 5 (414 x^{8})$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (351 x^{16} + 414 x^{8}) + 5 (- 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 2.29.5.5

从 $5 (351 x^{16} + 414 x^{8}) + 5 (- 1)$ 中分解出因数 $5$ 。

$f'' (x) = \frac{5 (351 x^{16} + 414 x^{8} - 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

微积分学 示例

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