微积分学示例

$y = \frac{\cos (x)}{e^{x}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- e^{x} \sin (x) - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.5.1.2

将 $- e^{x} \sin (x) - \cos (x) e^{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.5.2

化简分子。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 1.5.2.1.1

从 $- e^{x} \sin (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.5.2.1.2

从 $- e^{x} \cos (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.5.2.1.3

从 $e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- \sin (x) - \cos (x))}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.5.2.2

从 $- \sin (x) - \cos (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 1.5.2.2.1

从 $- \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{x} (- (\sin (x)) - \cos (x))}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.5.2.2.2

从 $- \cos (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{x} (- (\sin (x)) - (\cos (x)))}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.5.2.2.3

从 $- (\sin (x)) - (\cos (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{x} (- (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x}}$

$\frac{e^{x} \cdot - 1 (\sin (x) + \cos (x))}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.5.2.3

提取负因数。

$\frac{- e^{x} (\sin (x) + \cos (x))}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.5.3

约去 $e^{x}$ 和 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

从 $- e^{x} (\sin (x) + \cos (x))$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2.3

重写表达式。

$\frac{- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))}{1}$

解题步骤 1.5.3.2.4

用 $- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))$ 除以 $1$ 。

$- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))$

解题步骤 1.5.4

运用分配律。

$f' (x) = - e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{- x} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{- x} \sin (x)]$ 。

$- \frac{d}{d x} [e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{- x}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$- (e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

解题步骤 2.2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

解题步骤 2.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x$ 。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

解题步骤 2.2.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

解题步骤 2.2.4.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

解题步骤 2.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

解题步骤 2.2.8

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

解题步骤 2.2.9

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{- x} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$ 。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{- x}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 2.3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 2.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 2.3.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 2.3.4.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 2.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

解题步骤 2.3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \cdot - 1))$

解题步骤 2.3.8

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

解题步骤 2.3.9

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$- (e^{- x} \cos (x)) - (\sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$- (e^{- x} \cos (x)) - (\sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

解题步骤 2.4.3

合并项。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- e^{- x} \cos (x) + 1 (\sin (x) (e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

解题步骤 2.4.3.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

解题步骤 2.4.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + 1 (e^{- x} (\sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

解题步骤 2.4.3.4

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

解题步骤 2.4.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) + 1 (\cos (x) (e^{- x}))$

解题步骤 2.4.3.6

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

解题步骤 2.4.3.7

将 $\sin (x) e^{- x}$ 和 $e^{- x} \sin (x)$ 相加。

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解题步骤 2.4.3.7.1

将 $\sin (x)$ 和 $e^{- x}$ 重新排序。

$- e^{- x} \cos (x) + e^{- x} \sin (x) + e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

解题步骤 2.4.3.7.2

将 $e^{- x} \sin (x)$ 和 $e^{- x} \sin (x)$ 相加。

$- e^{- x} \cos (x) + 2 e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

解题步骤 2.4.3.8

将 $- e^{- x} \cos (x)$ 和 $\cos (x) e^{- x}$ 相加。

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解题步骤 2.4.3.8.1

将 $\cos (x)$ 和 $e^{- x}$ 重新排序。

$2 e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x) + e^{- x} \cos (x)$

解题步骤 2.4.3.8.2

将 $- e^{- x} \cos (x)$ 和 $e^{- x} \cos (x)$ 相加。

$2 e^{- x} \sin (x) + 0$

解题步骤 2.4.3.9

将 $2 e^{- x} \sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 e^{- x} \sin (x)$

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