微积分学示例

$y = \frac{\ln (2 x)}{x^{6}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (2 x)$ 且 $g (x) = x^{6}$ 。

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

解题步骤 1.2

将 ${(x^{6})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{6 \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{x^{6} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 1.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{x^{6} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 1.3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{6} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 1.4

求微分。

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解题步骤 1.4.1

组合 $\frac{1}{2 x}$ 和 $x^{6}$ 。

$\frac{\frac{x^{6}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 1.4.2

约去 $x^{6}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 1.4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 1.4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 1.4.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\frac{x^{5}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 1.4.4

化简项。

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解题步骤 1.4.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{x^{5}}{2}$ 。

$\frac{\frac{2 x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 1.4.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.4.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{2 x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 1.4.4.2.2

用 $x^{5}$ 除以 $1$ 。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 1.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{5} \cdot 1 - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 1.4.6

将 $x^{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{5} - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

解题步骤 1.4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{x^{5} - \ln (2 x) (6 x^{5})}{x^{12}}$

解题步骤 1.4.8

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.4.8.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{5} - 6 \ln (2 x) x^{5}}{x^{12}}$

解题步骤 1.4.8.2

从 $x^{5} - 6 \ln (2 x) x^{5}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

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解题步骤 1.4.8.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{x^{5} \cdot 1 - 6 \ln (2 x) x^{5}}{x^{12}}$

解题步骤 1.4.8.2.2

从 $- 6 \ln (2 x) x^{5}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (2 x))}{x^{12}}$

解题步骤 1.4.8.2.3

从 $x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (2 x))$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{12}}$

解题步骤 1.5

约去公因数。

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解题步骤 1.5.1

从 $x^{12}$ 中分解出因数 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{5} x^{7}}$

解题步骤 1.5.2

约去公因数。

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{5} x^{7}}$

解题步骤 1.5.3

重写表达式。

$\frac{1 - 6 \ln (2 x)}{x^{7}}$

解题步骤 1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 6 \ln (2 x)$ 。

$\frac{1 - \ln ({(2 x)}^{6})}{x^{7}}$

解题步骤 1.6.2

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\frac{1 - \ln (2^{6} x^{6})}{x^{7}}$

解题步骤 1.6.3

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{1 - \ln (64 x^{6})}{x^{7}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - \ln (64 x^{6})$ 且 $g (x) = x^{7}$ 。

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(x^{7})}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

将 ${(x^{7})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{7 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $1 - \ln (64 x^{6})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]$ 。

$\frac{x^{7} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.2.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]$ 相加。

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (64 x^{6})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (64 x^{6})]$ 。

$\frac{x^{7} (- \frac{d}{d x} [\ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 64 x^{6}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $64 x^{6}$ 。

$\frac{x^{7} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.3.3

使用 $64 x^{6}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

组合 $x^{7}$ 和 $\frac{1}{64 x^{6}}$ 。

$\frac{- \frac{x^{7}}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.4.2

约去 $x^{7}$ 和 $x^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1

从 $x^{7}$ 中分解出因数 $x^{6}$ 。

$\frac{- \frac{x^{6} x}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1

从 $64 x^{6}$ 中分解出因数 $x^{6}$ 。

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- \frac{x}{64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.4.3

因为 $64$ 对于 $x$ 是常数，所以 $64 x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $64 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$\frac{- \frac{x}{64} (64 \frac{d}{d x} [x^{6}]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.4.4

化简项。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $64$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 64 \frac{x}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.4.4.2

组合 $- 64$ 和 $\frac{x}{64}$ 。

$\frac{\frac{- 64 x}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.4.4.3

约去 $- 64$ 和 $64$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.4.3.1

从 $- 64 x$ 中分解出因数 $64$ 。

$\frac{\frac{64 (- x)}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.4.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.4.3.2.1

从 $64$ 中分解出因数 $64$ 。

$\frac{\frac{64 (- x)}{64 (1)} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.4.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{64 (- x)}{64 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.4.4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{- x}{1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.4.4.3.2.4

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$\frac{- x \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{- x (6 x^{5}) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.4.6

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 6 x \cdot x^{5} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 2.5.1

移动 $x^{5}$ 。

$\frac{- 6 (x^{5} x) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.5.2

将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 6 (x^{5} x^{1}) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 6 x^{5 + 1} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.5.3

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (64 x^{6})) (7 x^{6})}{x^{14}}$

解题步骤 2.7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.7.1

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

解题步骤 2.7.2

从 $- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}$ 中分解出因数 $x^{6}$ 。

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解题步骤 2.7.2.1

从 $- 6 x^{6}$ 中分解出因数 $x^{6}$ 。

$\frac{x^{6} \cdot - 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

解题步骤 2.7.2.2

从 $- 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}$ 中分解出因数 $x^{6}$ 。

$\frac{x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{14}}$

解题步骤 2.7.2.3

从 $x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (64 x^{6})))$ 中分解出因数 $x^{6}$ 。

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{14}}$

解题步骤 2.8

约去公因数。

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解题步骤 2.8.1

从 $x^{14}$ 中分解出因数 $x^{6}$ 。

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

解题步骤 2.8.2

约去公因数。

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

解题步骤 2.8.3

重写表达式。

$\frac{- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

解题步骤 2.9

化简。

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解题步骤 2.9.1

运用分配律。

$\frac{- 6 - 7 \cdot 1 - 7 (- \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

解题步骤 2.9.2

化简分子。

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解题步骤 2.9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.2.1.1

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 6 - 7 - 7 (- \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

解题步骤 2.9.2.1.2

乘以 $- 7 (- \ln (64 x^{6}))$ 。

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解题步骤 2.9.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{- 6 - 7 + 7 \ln (64 x^{6})}{x^{8}}$

解题步骤 2.9.2.1.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $7 \ln (64 x^{6})$ 。

$\frac{- 6 - 7 + \ln ({(64 x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

解题步骤 2.9.2.1.3

对 $64 x^{6}$ 运用乘积法则。

$\frac{- 6 - 7 + \ln (64^{7} {(x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

解题步骤 2.9.2.1.4

对 $64$ 进行 $7$ 次方运算。

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 {(x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

解题步骤 2.9.2.1.5

将 ${(x^{6})}^{7}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.9.2.1.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 x^{6 \cdot 7})}{x^{8}}$

解题步骤 2.9.2.1.5.2

将 $6$ 乘以 $7$ 。

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 x^{42})}{x^{8}}$

解题步骤 2.9.2.2

从 $- 6$ 中减去 $7$ 。

$f'' (x) = \frac{- 13 + \ln (4398046511104 x^{42})}{x^{8}}$

微积分学 示例

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