微积分学示例

$y = (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3 x^{4} + 2 x^{2} + 2$ 且 $g (x) = e^{4 x}$ 。

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x$ 。

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

解题步骤 1.2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

解题步骤 1.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} (4 \cdot 1) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

解题步骤 1.3.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

解题步骤 1.3.3.2

将 $4$ 移到 $(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x}$ 的左侧。

$4 \cdot ((3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

解题步骤 1.3.4

根据加法法则， $3 x^{4} + 2 x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 1.3.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 1.3.7

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 1.3.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 1.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 1.3.10

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 1.3.11

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x + 0)$

解题步骤 1.3.12

将 $12 x^{3} + 4 x$ 和 $0$ 相加。

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x)$

解题步骤 1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$(4 (3 x^{4}) + 4 (2 x^{2}) + 4 \cdot 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x)$

解题步骤 1.4.2

运用分配律。

$4 (3 x^{4}) e^{4 x} + 4 (2 x^{2}) e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x)$

解题步骤 1.4.3

运用分配律。

$4 (3 x^{4}) e^{4 x} + 4 (2 x^{2}) e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3}) + e^{4 x} (4 x)$

解题步骤 1.4.4

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.4.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{4} e^{4 x} + 4 (2 x^{2}) e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3}) + e^{4 x} (4 x)$

解题步骤 1.4.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{4} e^{4 x} + 8 x^{2} e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3}) + e^{4 x} (4 x)$

解题步骤 1.4.4.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$12 x^{4} e^{4 x} + 8 x^{2} e^{4 x} + 8 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3}) + e^{4 x} (4 x)$

解题步骤 1.4.5

重新排序项。

$f' (x) = 12 e^{4 x} x^{4} + 8 e^{4 x} x^{2} + 12 e^{4 x} x^{3} + 4 e^{4 x} x + 8 e^{4 x}$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $12 e^{4 x} x^{4} + 8 e^{4 x} x^{2} + 12 e^{4 x} x^{3} + 4 e^{4 x} x + 8 e^{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{4}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 e^{4 x} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{4}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{4 x}$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

$12 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{4}] + x^{4} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.2.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.2.4.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.2.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.2.7

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{4 x} \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.2.8

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 e^{4 x} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{2}]$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{4 x}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.4.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.7

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{4 x} \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.3.8

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 e^{4 x} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{3}]$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{4 x}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.4.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $4 x$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.4.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.4.4.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.4.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.4.7

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{4 x} \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.4.8

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.5

计算 $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 e^{4 x} x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x]$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.5.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{4 x}$ 且 $g (x) = x$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.5.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{4}$ 设为 $4 x$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.5.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ 等于 $a^{u_{4}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.5.4.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{4}$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.5.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.5.7

将 $e^{4 x}$ 乘以 $1$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.5.8

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (e^{4 x} \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.5.9

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

解题步骤 2.6

计算 $\frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 e^{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

解题步骤 2.6.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{5}$ 设为 $4 x$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (\frac{d}{d u_{5}} [e^{u_{5}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 2.6.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{5}} [a^{u_{5}}]$ 等于 $a^{u_{5}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{u_{5}} \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 2.6.2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{5}$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 2.6.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

解题步骤 2.6.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} \cdot 4)$

解题步骤 2.6.6

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (4 \cdot e^{4 x})$

解题步骤 2.6.7

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

解题步骤 2.7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.1

运用分配律。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.2

运用分配律。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.3

运用分配律。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.4

运用分配律。

$12 (e^{4 x} (4 x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.5

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.5.1

将 $4$ 乘以 $12$ 。

$48 (e^{4 x} (x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.5.2

将 $4$ 乘以 $12$ 。

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 (x^{4} (e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.5.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 (e^{4 x} (x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.5.4

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 32 (x^{2} (e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.5.5

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 32 x^{2} e^{4 x} + 36 (e^{4 x} (x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.5.6

将 $4$ 乘以 $12$ 。

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 32 x^{2} e^{4 x} + 36 e^{4 x} x^{2} + 48 (x^{3} (e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.5.7

将 $32 x^{2} e^{4 x}$ 和 $36 e^{4 x} x^{2}$ 相加。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.5.7.1

移动 $e^{4 x}$ 。

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 32 x^{2} e^{4 x} + 36 x^{2} e^{4 x} + 48 x^{3} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.5.7.2

将 $32 x^{2} e^{4 x}$ 和 $36 x^{2} e^{4 x}$ 相加。

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 68 x^{2} e^{4 x} + 48 x^{3} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.5.8

将 $48 e^{4 x} x^{3}$ 和 $48 x^{3} e^{4 x}$ 相加。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.5.8.1

移动 $e^{4 x}$ 。

$48 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.5.8.2

将 $48 x^{3} e^{4 x}$ 和 $48 x^{3} e^{4 x}$ 相加。

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.5.9

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 16 (x (e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.5.10

将 $16 e^{4 x} x$ 和 $16 x e^{4 x}$ 相加。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.5.10.1

移动 $e^{4 x}$ 。

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 32 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.5.10.2

将 $16 x e^{4 x}$ 和 $16 x e^{4 x}$ 相加。

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 32 x e^{4 x} + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 32 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.5.11

将 $4 e^{4 x}$ 和 $32 e^{4 x}$ 相加。

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 32 x e^{4 x} + 68 x^{2} e^{4 x} + 36 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.6

重新排序项。

$96 e^{4 x} x^{3} + 48 e^{4 x} x^{4} + 32 e^{4 x} x + 68 e^{4 x} x^{2} + 36 e^{4 x}$

解题步骤 2.7.7

将 $96 e^{4 x} x^{3} + 48 e^{4 x} x^{4} + 32 e^{4 x} x + 68 e^{4 x} x^{2} + 36 e^{4 x}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = 96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 32 x e^{4 x} + 68 x^{2} e^{4 x} + 36 e^{4 x}$

微积分学 示例

微积分学示例