微积分学示例

$y = 4 x \sin^{-1} (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x \sin^{-1} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x \sin^{-1} (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin^{-1} (x)$ 。

$4 (x \frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)] + \sin^{-1} (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3

$\sin^{-1} (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$4 (x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.4.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$4 (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x) \cdot 1)$

解题步骤 1.4.3

将 $\sin^{-1} (x)$ 乘以 $1$ 。

$4 (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x))$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$4 \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 4 \sin^{-1} (x)$

解题步骤 1.5.2

组合 $4$ 和 $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 4 \sin^{-1} (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 4 \sin^{-1} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x^{2}$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.5.3

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.6

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.10

将 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.11

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.12

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.13

在公分母上合并分子。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.14

化简分子。

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解题步骤 2.2.14.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.14.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.15

将负号移到分数的前面。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.16

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.17

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.18

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.19

组合 $- 2$ 和 $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.20

组合 $\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.21

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.22

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.23

约去公因数。

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解题步骤 2.2.23.1

从 $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.23.2

约去公因数。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.23.3

重写表达式。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.24

将负号移到分数的前面。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.25

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 x \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.26

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.27

组合 $x$ 和 $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.28

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.29

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.30

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.31

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.32

要将 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.33

在公分母上合并分子。

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.34

通过指数相加将 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.34.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.34.2

在公分母上合并分子。

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.34.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.34.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{1} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.35

化简 ${(1 - x^{2})}^{1}$ 。

$4 \frac{\frac{1 - x^{2} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.36

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$4 \frac{\frac{1 + 0}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.37

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.38

将 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.38.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.38.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.38.2.1

约去公因数。

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.38.2.2

重写表达式。

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.39

化简。

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.40

将 $\frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$ 重写为乘积形式。

$4 (\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 - x^{2}}) + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.41

将 $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{1 - x^{2}}$ 。

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{2})} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.42

通过指数相加将 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1 - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.42.1

将 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1 - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.42.1.1

对 $1 - x^{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{1}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.42.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.42.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.42.3

在公分母上合并分子。

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.42.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.2.43

组合 $4$ 和 $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \sin^{-1} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)]$ 。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 4 \frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)]$

解题步骤 2.3.2

$\sin^{-1} (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 4 \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 2.3.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.1.1

化简分母。

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解题步骤 2.4.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}$

解题步骤 2.4.1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 2.4.1.2

将 $\frac{4}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 2.4.1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 2.4.1.3.1

将 $\frac{4}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ 。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 2.4.1.3.2

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

解题步骤 2.4.1.3.3

对 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

解题步骤 2.4.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.4.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

解题步骤 2.4.1.3.6

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 2.4.1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.4.1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.1.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

解题步骤 2.4.1.3.6.5

化简。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.2

要将 $\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ 。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.3

要将 $\frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.4.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 的形式。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ 。

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} ((1 + x) (1 - x))} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.4.4.2

将 $\frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ 乘以 $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} ((1 + x) (1 - x))} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.4.4.3

重新排序 ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} ((1 + x) (1 - x))$ 的因式。

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.4.4.4

重新排序 $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 的因式。

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x)) + 4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6

化简分子。

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解题步骤 2.4.6.1

从 $4 (1 + x) (1 - x) + 4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.4.6.1.1

从 $4 (1 + x) (1 - x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x)) + 4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.1.2

从 $4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x)) + 4 (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.1.3

从 $4 ((1 + x) (1 - x)) + 4 (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.3

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 2.4.6.3.1

运用分配律。

$\frac{4 (1 (1 - x) + x (1 - x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.3.2

运用分配律。

$\frac{4 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.3.3

运用分配律。

$\frac{4 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.4.6.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.6.4.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.4.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.4.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (1 - x + x + x (- x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.4.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 (1 - x + x - x \cdot x + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.4.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.6.4.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 (1 - x + x - (x \cdot x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.4.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{4 (1 - x + x - x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.4.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{4 (1 + 0 - x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.4.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 (1 - x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.5

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 2.4.6.5.1

运用分配律。

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 (1 - x) + x (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.5.2

运用分配律。

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.5.3

运用分配律。

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.4.6.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.6.6.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.6.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.6.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.6.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.6.6.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.6.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.6.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 + 0 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.6.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.7

通过指数相加将 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 2.4.6.7.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.7.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.7.4

用 $4$ 除以 $2$ 。

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{2})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.8

将 ${(1 - x^{2})}^{2}$ 重写为 $(1 - x^{2}) (1 - x^{2})$ 。

$\frac{4 (1 - x^{2} + (1 - x^{2}) (1 - x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.9

使用 FOIL 方法展开 $(1 - x^{2}) (1 - x^{2})$ 。

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解题步骤 2.4.6.9.1

运用分配律。

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 (1 - x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.9.2

运用分配律。

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.9.3

运用分配律。

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.10

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.4.6.10.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.6.10.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.10.1.2

将 $- x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.10.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - x^{2} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.10.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.10.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.6.10.1.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.10.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.10.1.5.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.10.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} + 1 x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.10.1.7

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} + x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.10.2

从 $- x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - 2 x^{2} + x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 (- x^{2} + 2 - 2 x^{2} + x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.12

从 $- x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 2 + x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.13

重新排序项。

$\frac{4 (x^{4} - 3 x^{2} + 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.14

以因式分解的形式重写 $x^{4} - 3 x^{2} + 2$ 。

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解题步骤 2.4.6.14.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{4 ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} + 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.14.2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$\frac{4 (u^{2} - 3 u + 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.14.3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 3 u + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.4.6.14.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $- 3$ 。

$- 2, - 1$

解题步骤 2.4.6.14.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{4 ((u - 2) (u - 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.14.4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{4 ((x^{2} - 2) (x^{2} - 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.14.5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{4 ((x^{2} - 2) (x^{2} - 1^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.6.14.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{4 ((x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

$\frac{4 (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.7

重新排序项。

$\frac{4 (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (x + 1) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.8

约去公因数。

$\frac{4 (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (x + 1) (1 - x)}$

解题步骤 2.4.9

重写表达式。

$\frac{4 (x^{2} - 2) (x - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 - x)}$

解题步骤 2.4.10

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x) - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 - x)}$

解题步骤 2.4.11

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x) - 1 (1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 - x)}$

解题步骤 2.4.12

从 $- 1 (- x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x + 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 - x)}$

解题步骤 2.4.13

重新排序项。

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x + 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (- x + 1)}$

解题步骤 2.4.14

约去公因数。

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x + 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (- x + 1)}$

解题步骤 2.4.15

重写表达式。

$\frac{4 (x^{2} - 2) \cdot (- 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.4.16

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 4 (x^{2} - 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.4.17

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{4 (x^{2} - 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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