微积分学示例

$y = 12 (5 x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 (5 x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [(5 x^{2} - 1) (x^{2} - 1)]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [(5 x^{2} - 1) (x^{2} - 1)]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 5 x^{2} - 1$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

$12 ((5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$12 ((5 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 ((5 x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

解题步骤 1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 ((5 x^{2} - 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

解题步骤 1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.3.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$12 ((5 x^{2} - 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

解题步骤 1.3.4.2

将 $2$ 移到 $5 x^{2} - 1$ 的左侧。

$12 (2 \cdot (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

解题步骤 1.3.5

根据加法法则， $5 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 1.3.6

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 1.3.8

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) (10 x + \frac{d}{d x} [- 1]))$

解题步骤 1.3.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) (10 x + 0))$

解题步骤 1.3.10

化简表达式。

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解题步骤 1.3.10.1

将 $10 x$ 和 $0$ 相加。

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + (x^{2} - 1) (10 x))$

解题步骤 1.3.10.2

将 $10$ 移到 $x^{2} - 1$ 的左侧。

$12 (2 (5 x^{2} - 1) x + 10 \cdot (x^{2} - 1) x)$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$12 ((2 (5 x^{2}) + 2 \cdot - 1) x + 10 (x^{2} - 1) x)$

解题步骤 1.4.2

运用分配律。

$12 (2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 1 x + 10 (x^{2} - 1) x)$

解题步骤 1.4.3

运用分配律。

$12 (2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 1 x + (10 x^{2} + 10 \cdot - 1) x)$

解题步骤 1.4.4

运用分配律。

$12 (2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 1 x + 10 x^{2} x + 10 \cdot - 1 x)$

解题步骤 1.4.5

运用分配律。

$12 (2 (5 x^{2}) x) + 12 (2 \cdot - 1 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

解题步骤 1.4.6

合并项。

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解题步骤 1.4.6.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$12 (10 x^{2} x) + 12 (2 \cdot - 1 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

解题步骤 1.4.6.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 (10 (x^{1} x^{2})) + 12 (2 \cdot - 1 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

解题步骤 1.4.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 (10 x^{1 + 2}) + 12 (2 \cdot - 1 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

解题步骤 1.4.6.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$12 (10 x^{3}) + 12 (2 \cdot - 1 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

解题步骤 1.4.6.5

将 $10$ 乘以 $12$ 。

$120 x^{3} + 12 (2 \cdot - 1 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

解题步骤 1.4.6.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$120 x^{3} + 12 (- 2 x) + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

解题步骤 1.4.6.7

将 $- 2$ 乘以 $12$ 。

$120 x^{3} - 24 x + 12 (10 x^{2} x) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

解题步骤 1.4.6.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$120 x^{3} - 24 x + 12 (10 (x^{1} x^{2})) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

解题步骤 1.4.6.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$120 x^{3} - 24 x + 12 (10 x^{1 + 2}) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

解题步骤 1.4.6.10

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$120 x^{3} - 24 x + 12 (10 x^{3}) + 12 (10 \cdot - 1 x)$

解题步骤 1.4.6.11

将 $10$ 乘以 $12$ 。

$120 x^{3} - 24 x + 120 x^{3} + 12 (10 \cdot - 1 x)$

解题步骤 1.4.6.12

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$120 x^{3} - 24 x + 120 x^{3} + 12 (- 10 x)$

解题步骤 1.4.6.13

将 $- 10$ 乘以 $12$ 。

$120 x^{3} - 24 x + 120 x^{3} - 120 x$

解题步骤 1.4.6.14

将 $120 x^{3}$ 和 $120 x^{3}$ 相加。

$240 x^{3} - 24 x - 120 x$

解题步骤 1.4.6.15

从 $- 24 x$ 中减去 $120 x$ 。

$f' (x) = 240 x^{3} - 144 x$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $240 x^{3} - 144 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 144 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 144 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [240 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $240$ 对于 $x$ 是常数，所以 $240 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $240 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$240 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 144 x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$240 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 144 x]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $240$ 。

$720 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 144 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 144 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 144$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 144 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$720 x^{2} - 144 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$720 x^{2} - 144 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $- 144$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 720 x^{2} - 144$

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