微积分学示例

$y = {(7 + \frac{4}{x})}^{4}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 7 + \frac{4}{x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 + \frac{4}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

解题步骤 1.1.3

使用 $7 + \frac{4}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $7 + \frac{4}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ 。

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

解题步骤 1.2.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

解题步骤 1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ 相加。

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

解题步骤 1.2.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 1.2.5

化简表达式。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.2.5.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (- x^{- 2})$

解题步骤 1.2.7

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} x^{- 2}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

合并项。

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解题步骤 1.3.2.1

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $- 16$ 。

$\frac{- 16}{x^{2}} {(7 + \frac{4}{x})}^{3}$

解题步骤 1.3.2.2

组合 $\frac{- 16}{x^{2}}$ 和 ${(7 + \frac{4}{x})}^{3}$ 。

$\frac{- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.1

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$- \frac{16 {(\frac{7 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{16 {(\frac{7 x + 4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3.3

对 $\frac{7 x + 4}{x}$ 运用乘积法则。

$- \frac{16 \frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.4

组合 $16$ 和 $\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}$ 。

$- \frac{\frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.5

将分子乘以分母的倒数。

$- (\frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 1.3.6

合并。

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}$

解题步骤 1.3.7

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{3 + 2}}$

解题步骤 1.3.7.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{5}}$

解题步骤 1.3.8

将 $16 {(7 x + 4)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - \frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}]$ 。

$- 16 \frac{d}{d x} [\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {(7 x + 4)}^{3}$ 且 $g (x) = x^{5}$ 。

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 ${(x^{5})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 7 x + 4$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x + 4$ 。

$- 16 \frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 16 \frac{x^{5} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.4.3

使用 $7 x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $7 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.4

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 + 0)) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.6

化简表达式。

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解题步骤 2.5.6.1

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} \cdot 7) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.6.2

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - {(7 x + 4)}^{3} (5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.8

合并分数。

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解题步骤 2.5.8.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.8.2

组合 $- 16$ 和 $\frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$ 。

$\frac{- 16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.5.8.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$- \frac{16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2})) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2

化简分子。

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解题步骤 2.6.2.1

从 $16 x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})$ 中分解出因数 $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.2.1.1

从 $16 x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2})$ 中分解出因数 $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ 。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.1.2

从 $16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})$ 中分解出因数 $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ 。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.1.3

从 $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 5 (7 x + 4))$ 中分解出因数 $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ 。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21) - 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.2

将 $21$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.3

运用分配律。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 5 (7 x) - 5 \cdot 4)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.4

将 $7$ 乘以 $- 5$ 。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 35 x - 5 \cdot 4)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.5

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 35 x - 20)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.6

从 $21 x$ 中减去 $35 x$ 。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 14 x - 20)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.7

从 $- 14 x - 20$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.6.2.7.1

从 $- 14 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x) - 20)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.7.2

从 $- 20$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x) + 2 (- 10))}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.7.3

从 $2 (- 7 x) + 2 (- 10)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x - 10))}{x^{10}}$

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} \cdot 2 (- 7 x - 10)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.2.8

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$- \frac{32 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.3

约去 $x^{4}$ 和 $x^{10}$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.3.1

从 $32 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{10}}$

解题步骤 2.6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.3.2.1

从 $x^{10}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{4} x^{6}}$

解题步骤 2.6.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{4} x^{6}}$

解题步骤 2.6.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)}{x^{6}}$

解题步骤 2.6.4

从 $- 7 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x) - 10)}{x^{6}}$

解题步骤 2.6.5

将 $- 10$ 重写为 $- 1 (10)$ 。

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x) - 1 (10))}{x^{6}}$

解题步骤 2.6.6

从 $- (7 x) - 1 (10)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x + 10))}{x^{6}}$

解题步骤 2.6.7

将 $- (7 x + 10)$ 重写为 $- 1 (7 x + 10)$ 。

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- 1 (7 x + 10))}{x^{6}}$

解题步骤 2.6.8

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

解题步骤 2.6.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

解题步骤 2.6.10

将 $\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

解题步骤 2.6.11

将 $\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (7 x + 10)}{x^{6}}$

微积分学 示例

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