微积分学示例

$y = (x + 1) (7 \sqrt{x} + 2)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = 7 \sqrt{x} + 2$ 。

$(x + 1) \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x} + 2] + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 2

根据加法法则， $7 \sqrt{x} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 3.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$(x + 1) (7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 3.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 3.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$(x + 1) (7 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 3.10

组合 $7$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$(x + 1) (\frac{7 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$(x + 1) (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x + 1) (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.2

将 $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) (1 + 0)$

解题步骤 4.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) \cdot 1$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$x \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) \cdot 1$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$x \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

解题步骤 5.3

合并项。

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解题步骤 5.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x \cdot 7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

解题步骤 5.3.2

将 $7$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{7 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

解题步骤 5.3.3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{7 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

解题步骤 5.3.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{7 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

解题步骤 5.3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

解题步骤 5.3.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{7 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

解题步骤 5.3.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{7 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

解题步骤 5.3.4.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

解题步骤 5.3.5

将 $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

解题步骤 5.3.6

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} + 2 \cdot 1$

解题步骤 5.3.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} + 2$

解题步骤 5.4

重新排序项。

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 + 7 \sqrt{x}$

微积分学 示例

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