微积分学示例

$f (x) = (x - 4) (4 x + 5)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 4$ 且 $g (x) = 4 x + 5$ 。

$(x - 4) \frac{d}{d x} [4 x + 5] + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 2

根据加法法则， $4 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$(x - 4) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x - 4) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - 4) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$(x - 4) (4 + \frac{d}{d x} [5]) + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x - 4) (4 + 0) + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$(x - 4) \cdot 4 + (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$(x - 4) \cdot 4 + (4 x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - 4) \cdot 4 + (4 x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 4.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x - 4) \cdot 4 + (4 x + 5) (1 + 0)$

解题步骤 4.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x - 4) \cdot 4 + (4 x + 5) \cdot 1$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$x \cdot 4 - 4 \cdot 4 + (4 x + 5) \cdot 1$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$x \cdot 4 - 4 \cdot 4 + 4 x \cdot 1 + 5 \cdot 1$

解题步骤 5.3

合并项。

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解题步骤 5.3.1

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$4 \cdot x - 4 \cdot 4 + 4 x \cdot 1 + 5 \cdot 1$

解题步骤 5.3.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$4 x - 16 + 4 x \cdot 1 + 5 \cdot 1$

解题步骤 5.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 x - 16 + 4 x + 5 \cdot 1$

解题步骤 5.3.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$4 x - 16 + 4 x + 5$

解题步骤 5.3.5

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$8 x - 16 + 5$

解题步骤 5.3.6

将 $- 16$ 和 $5$ 相加。

$8 x - 11$

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